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\begin{document}
% 主资料：参考资料/网课讲义/第三章 多维随机变量及其分布.pdf
% 字幕范围：P25--P39
\setcounter{chapter}{2}
\chapter{多维随机变量及其分布}

\section*{本章导读}

第二章只用一个数描述一次试验结果，但现实问题常由多个指标共同决定。例如一件产品同时有长度和重量，一名学生同时有数学和英语成绩。若只研究其中一个指标，就会丢失它们如何共同变化的信息。本章把同一次试验产生的多个随机变量放在一起，研究它们的\textbf{联合分布}、各自的\textbf{边缘分布}、已知一个变量后的\textbf{条件分布}以及变量之间的\textbf{独立性}。

本章的计算主线只有两条：
\[
\text{离散型：对符合条件的格点概率求和},
\qquad
\text{连续型：在符合条件的平面区域上积分}.
\]
最后再把 $(X,Y)$ 通过 $Z=g(X,Y)$ 压缩成一个新随机变量。学习时始终先问：\textbf{取值区域是什么？目标事件在图上是哪一块？}

\section{二维随机变量与联合分布函数}

\subsection{为什么需要二维随机变量}

\begin{definition}[二维随机变量]
在同一个随机试验的样本空间 $\Omega$ 上定义两个随机变量 $X=X(\omega)$ 与 $Y=Y(\omega)$，把它们作为一个整体
\[
(X,Y)=(X(\omega),Y(\omega)),
\]
称为二维随机变量或随机向量。一次试验结果 $\omega$ 会同时确定平面上的一个随机点 $(X,Y)$。
\end{definition}

\begin{note}[“同一个样本空间”是关键]
二维随机变量不是把两个毫无关系的数机械并排，而是同一次随机试验的两个观测指标。可以分别研究 $X$、$Y$，也可以研究它们同时落入某区域的概率。推广到 $n$ 个指标，就得到 $n$ 维随机变量 $(X_1,\ldots,X_n)$。
\end{note}

\subsection{联合分布函数与矩形概率}

\begin{definition}[联合分布函数]
二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数定义为
\[
F(x,y)=P(X\le x,\,Y\le y),
\qquad -\infty<x,y<+\infty.
\]
几何上，$F(x,y)$ 是随机点落在点 $(x,y)$ 左下方无界矩形中的概率。
\end{definition}

\begin{theorem}[由联合分布函数求矩形概率]
若 $x_1<x_2$、$y_1<y_2$，则
\[
\begin{aligned}
&P(x_1<X\le x_2,\ y_1<Y\le y_2)\\
&\qquad=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1).
\end{aligned}
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
\textbf{证明目标：}从联合分布函数中扣出半开矩形的概率。

\textbf{出发点：}联合分布函数表示左下方无界矩形的概率。

\textbf{关键转换：}先取大矩形，再减去左条和下条；二者重叠的左下角被减了两次，需加回一次。

\textbf{正式推导：}记 $A=\{X\le x_2,Y\le y_2\}$，则利用容斥关系，
\[
\begin{aligned}
P(x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2)
&=P(A)-P(X\le x_1,Y\le y_2)\\
&\quad-P(X\le x_2,Y\le y_1)
+P(X\le x_1,Y\le y_1)\\
&=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1).
\end{aligned}
\]

\textbf{证明小结：}真正起作用的是矩形的包含关系和容斥原理。四项符号可记为“右上减左上、减右下、加左下”。
\end{proof}

\begin{theorem}[联合分布函数的基本性质]
任意联合分布函数 $F$ 满足：
\begin{enumerate}
  \item $0\le F(x,y)\le1$；
  \item 对每个变量分别单调不减，并分别右连续；
  \item $F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=0$，$F(+\infty,+\infty)=1$；
  \item 对任意 $x_1<x_2,y_1<y_2$，矩形增量
  \[
  F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\ge0.
  \]
\end{enumerate}
最后一条称为二重单调性；仅分别单调还不够。
\end{theorem}

\begin{example}[分别单调不等于合法联合分布函数]
判断某个二元函数是否能作联合分布函数时，即使它取值在 $[0,1]$、分别单调且满足端点极限，也必须检查任意矩形增量非负。若能找到一个矩形使四项差为负，就等于得到一个“负概率”，该函数立即被排除。

\textbf{方法选择：}这类题不必尝试还原随机变量，只需逐条检查充要条件。
\end{example}

\subsection{边缘分布函数与独立性}

\begin{definition}[边缘分布函数]
忽略另一个变量后，$X$ 与 $Y$ 的分布函数称为边缘分布函数：
\[
F_X(x)=F(x,+\infty),
\qquad
F_Y(y)=F(+\infty,y).
\]
“边缘”就是高维分布中某个低维分量自己的分布。
\end{definition}

\begin{definition}[随机变量的独立性]
若对任意实数 $x,y$ 都有
\[
F(x,y)=F_X(x)F_Y(y),
\]
则称 $X$ 与 $Y$ 相互独立。
\end{definition}

\begin{longexample}[由联合分布函数求边缘并判断独立]
设
\[
F(x,y)=
\begin{cases}
(1-e^{-x})(1-e^{-\lambda y}),&x\ge0,\ y\ge0,\\
0,&\text{其他},
\end{cases}
\qquad \lambda>0.
\]
求边缘分布函数并判断 $X,Y$ 是否独立。
\tcblower
令另一个变量趋于 $+\infty$：
\[
F_X(x)=
\begin{cases}1-e^{-x},&x\ge0,\\0,&x<0,
\end{cases}
\quad
F_Y(y)=
\begin{cases}1-e^{-\lambda y},&y\ge0,\\0,&y<0.
\end{cases}
\]
对所有 $x,y$，原联合分布函数正好等于 $F_X(x)F_Y(y)$，故 $X,Y$ 独立。

\textbf{检查：}两个边缘分别是参数为 $1$ 和 $\lambda$ 的指数分布；联合分布中的乘积结构与独立性一致。
\end{longexample}

\subsection*{小结}
本节把一次试验的两个指标组成随机点 $(X,Y)$。联合分布函数记录左下方矩形概率；求有限矩形概率用四项容斥；求边缘时让另一个变量趋于 $+\infty$；判断独立必须检查联合分布能否分解为两个边缘分布的乘积。使用前先确认端点开闭和矩形增量非负。

\section{二维离散型随机变量}

\subsection{联合分布律、边缘与条件分布}

\begin{definition}[二维离散型联合分布律]
若 $(X,Y)$ 只能取有限对或可列多对值 $(x_i,y_j)$，记
\[
p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j),
\]
则 $\{p_{ij}\}$ 称为联合分布律，且
\[
p_{ij}\ge0,
\qquad
\sum_i\sum_jp_{ij}=1.
\]
\end{definition}

离散型问题的统一动作是：\textbf{列出满足目标条件的所有格点，再把这些格点的概率相加。}

\begin{theorem}[由联合分布律得到边缘分布律]
若 $p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)$，则
\[
p_{i\cdot}=P(X=x_i)=\sum_jp_{ij},
\qquad
p_{\cdot j}=P(Y=y_j)=\sum_ip_{ij}.
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
\textbf{证明目标：}由联合概率推出每个分量自己的概率。

\textbf{出发点：}固定 $X=x_i$ 后，$Y$ 必取某个 $y_j$，这些事件两两互斥。

\textbf{关键转换：}把边缘事件按另一个变量的全部可能取值分割。

\textbf{正式推导：}
\[
\{X=x_i\}=\bigcup_j\{X=x_i,Y=y_j\},
\]
且右侧事件互斥，所以
\[
P(X=x_i)=\sum_jP(X=x_i,Y=y_j)=\sum_jp_{ij}.
\]
同理，$P(Y=y_j)=\sum_ip_{ij}$。

\textbf{证明小结：}“求谁的边缘，就固定谁，把另一个变量的所有情况加完”。这是全概率思想在表格中的直接应用。
\end{proof}

\begin{definition}[离散型条件分布律]
若 $p_{\cdot j}=P(Y=y_j)>0$，则
\[
P(X=x_i\mid Y=y_j)=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}.
\]
若 $p_{i\cdot}>0$，则
\[
P(Y=y_j\mid X=x_i)=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}.
\]
分母为零时，该条件分布没有定义。
\end{definition}

\begin{proof}
\textbf{证明目标：}由联合分布和边缘分布构造条件分布，并验证它是合法分布。

\textbf{出发点：}条件概率公式 $P(A\mid B)=P(AB)/P(B)$，要求 $P(B)>0$。

\textbf{关键转换：}令 $A=\{X=x_i\}$、$B=\{Y=y_j\}$。

\textbf{正式推导：}
\[
P(X=x_i\mid Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}
=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}.
\]
各项非负，且
\[
\sum_i\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}
=\frac{\sum_i p_{ij}}{p_{\cdot j}}=1.
\]

\textbf{证明小结：}条件分布就是把表格中固定的一行或一列重新归一化。先查分母是否正，是不可省略的定义条件。
\end{proof}

\subsection{离散型独立性}

\begin{theorem}[离散型独立判据]
二维离散型随机变量 $X,Y$ 相互独立，当且仅当对所有 $i,j$，
\[
p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}.
\]
只验证一两个格点不能证明独立；找到一个反例格点即可否定独立。
\end{theorem}

\begin{proof}
\textbf{证明目标：}把联合分布函数的独立性转化为表格中逐格相乘。

\textbf{出发点：}独立事件满足联合概率等于边缘概率乘积。

\textbf{关键转换：}对每个单点事件 $\{X=x_i\}$ 与 $\{Y=y_j\}$ 应用独立性。

\textbf{正式推导：}若 $X,Y$ 独立，则
\[
p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)=p_{i\cdot}p_{\cdot j}.
\]
反之，若逐格等式成立，则任意集合 $A,B$ 上
\[
\begin{aligned}
P(X\in A,Y\in B)
&=\sum_{x_i\in A}\sum_{y_j\in B}p_{ij}\\
&=\left(\sum_{x_i\in A}p_{i\cdot}\right)
  \left(\sum_{y_j\in B}p_{\cdot j}\right)\\
&=P(X\in A)P(Y\in B),
\end{aligned}
\]
故 $X,Y$ 独立。

\textbf{证明小结：}逐格乘积不仅是必要条件，也是充分条件；原因是所有离散事件都能由格点概率求和得到。
\end{proof}

\begin{longexample}[抽球：联合、边缘、条件与独立性]
盒中有 2 个黑球、2 个红球、2 个白球，不放回随机取 2 球。令 $X$ 为黑球数，$Y$ 为红球数。
\tcblower
总取法为 $\binom62=15$。$X,Y\in\{0,1,2\}$，且 $X+Y\le2$。联合分布律为
\[
\begin{array}{c|ccc}
 &Y=0&Y=1&Y=2\\\hline
X=0&\frac1{15}&\frac4{15}&\frac1{15}\\
X=1&\frac4{15}&\frac4{15}&0\\
X=2&\frac1{15}&0&0
\end{array}
\]
例如
\[
P(X+Y\le1)=\frac1{15}+\frac4{15}+\frac4{15}=\frac35.
\]
$X$ 的边缘分布律由逐行相加得到
\[
P(X=0)=\frac25,
\quad P(X=1)=\frac8{15},
\quad P(X=2)=\frac1{15}.
\]
条件概率
\[
P(Y=1\mid X=0)=\frac{4/15}{6/15}=\frac23.
\]
又因
\[
P(X=2,Y=2)=0
\ne P(X=2)P(Y=2)=\frac1{225},
\]
所以 $X,Y$ 不独立。

\textbf{结果检查：}九个格点概率之和为 $1$；不放回造成取值约束 $X+Y\le2$，这也解释了独立性为何失败。
\end{longexample}

\begin{note}[表格题的固定顺序]
先列 $X,Y$ 的全部可能取值，再逐格翻译事件并计算联合概率；随后才能安全地求范围概率、边缘、条件和独立性。不要先凭直觉判断独立，也不要漏写概率为零的不可能格点。
\end{note}

\subsection*{小结}
二维离散型分布由“取值对加联合概率”组成。求边缘就是按行或列求和；求条件分布是固定一行或一列后重新归一化；判断独立需逐格比较联合概率与两个边缘概率的乘积。做题前先列全格点并检查总和为 $1$。

\section{二维连续型随机变量}

\subsection{联合密度与区域概率}

\begin{definition}[二维连续型随机变量与联合密度]
若存在非负可积函数 $f(x,y)$，使联合分布函数可写成
\[
F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)\,\mathrm dv\,\mathrm du,
\]
则称 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量，$f$ 为联合概率密度。
\end{definition}

\begin{theorem}[联合密度的充要条件与区域概率]
函数 $f$ 能作为某个二维连续型随机变量的联合密度，当且仅当
\[
f(x,y)\ge0,
\qquad
\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}
f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=1.
\]
对平面区域 $G$，
\[
P\bigl((X,Y)\in G\bigr)=\iint_G f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy.
\]
在连续点处，$f(x,y)=\dfrac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}$。
\end{theorem}

\begin{note}[二维连续型题的总口诀]
“在哪个区域求概率，就在哪个区域对联合密度积分。”概率论的关键任务是画对\textbf{联合密度支持集}与\textbf{目标事件区域}的交集；之后的积分次序可以按区域形状选择。
\end{note}

\begin{longexample}[归一化、区域概率与联合分布函数]
设
\[
f(x,y)=
\begin{cases}
Cxy,&0<x<1,\ 0<y<1,\\
0,&\text{其他}.
\end{cases}
\]
求 $C$、$P(X+Y<1)$ 及联合分布函数在 $0<x<1,0<y<1$ 时的表达式。
\tcblower
先由归一性确定参数：
\[
1=C\int_0^1x\,\mathrm dx\int_0^1y\,\mathrm dy
=\frac C4,
\qquad C=4.
\]
事件 $X+Y<1$ 是单位正方形中的下三角形，因此
\[
P(X+Y<1)=\int_0^1\int_0^{1-x}4xy\,\mathrm dy\,\mathrm dx
=\frac16.
\]
当 $0<x<1,0<y<1$ 时，左下矩形完全位于支持集内，故
\[
F(x,y)=\int_0^x\int_0^y4uv\,\mathrm dv\,\mathrm du=x^2y^2.
\]
完整分布函数还需按 $x\le0$、$0<x<1$、$x\ge1$ 与 $y$ 的三段组合讨论。

\textbf{检查：}由 $f(x,y)=4xy=(2x)(2y)$ 可预见 $X,Y$ 独立，且边缘分布函数均为区间内的平方函数。
\end{longexample}

\subsection{边缘概率密度}

\begin{theorem}[由联合密度求边缘密度]
若 $(X,Y)$ 的联合密度为 $f(x,y)$，则
\[
f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dy,
\qquad
f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dx.
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
\textbf{证明目标：}从联合密度推出单个分量的密度。

\textbf{出发点：}$F_X(x)=F(x,+\infty)$，密度是分布函数的导数。

\textbf{关键转换：}让 $Y$ 遍历全部可能取值，再对 $x$ 求导。

\textbf{正式推导：}
\[
F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}
\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(u,y)\,\mathrm dy\right]\mathrm du.
\]
在可求导处，
\[
f_X(x)=F_X'(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dy.
\]
$f_Y$ 同理。

\textbf{证明小结：}边缘化的本质与离散型完全相同：把另一个变量的全部可能性“加掉”；离散用求和，连续用积分。
\end{proof}

\begin{longexample}[三角形支持集上的边缘密度]
设
\[
f(x,y)=
\begin{cases}
kxy,&0\le x\le y\le1,\\
0,&\text{其他}.
\end{cases}
\]
求 $k$ 及两个边缘密度。
\tcblower
支持集是 $0\le x\le y\le1$。归一化得
\[
1=k\int_0^1\int_x^1xy\,\mathrm dy\,\mathrm dx
=\frac{k}{8},
\qquad k=8.
\]
固定 $x$ 后，$y$ 从 $x$ 到 $1$：
\[
f_X(x)=\int_x^1 8xy\,\mathrm dy
=4x(1-x^2),\qquad 0<x<1.
\]
固定 $y$ 后，$x$ 从 $0$ 到 $y$：
\[
f_Y(y)=\int_0^y 8xy\,\mathrm dx
=4y^3,\qquad 0<y<1.
\]
区间外均为 $0$。

\textbf{关键转折：}积分限不是背出来的，而是固定一个坐标后，从三角形中读出另一个坐标的范围。
\end{longexample}

\subsection{条件概率密度与条件概率}

\begin{definition}[条件概率密度]
在 $f_Y(y)>0$ 时，给定 $Y=y$ 条件下 $X$ 的条件密度为
\[
f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}.
\]
在 $f_X(x)>0$ 时，
\[
f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}.
\]
\end{definition}

\begin{note}[为什么不能直接套普通条件概率]
连续型随机变量通常满足 $P(Y=y)=0$，所以不能把 $P(X\le x,Y=y)/P(Y=y)$ 当作普通比值。条件密度可理解为让 $Y$ 落在 $[y,y+h]$ 后令 $h\to0$ 得到的极限；这是 B 级证明，只需掌握“小区间条件化后归一化”的骨架。
\end{note}

\begin{proof}
\textbf{证明目标：}验证由联合密度与边缘密度构造出的条件密度是合法的一维密度。

\textbf{出发点：}假设 $f_Y(y)>0$，且 $f(x,y)\ge0$。

\textbf{关键转换：}固定 $y$，只对 $x$ 积分。

\textbf{正式推导：}
\[
f_{X\mid Y}(x\mid y)\ge0,
\]
并且
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,\mathrm dx
=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dx}{f_Y(y)}=1.
\]

\textbf{证明小结：}条件密度是固定切片后除以该切片的总质量；分母必须为正。若分母为零，公式没有定义。
\end{proof}

\begin{example}[“等号条件”与“区间条件”选择不同方法]
若题目问 $P(Y\le b\mid X=x_0)$，先求 $f_{Y\mid X}(y\mid x_0)$，再在 $(-\infty,b]$ 上积分。若题目问 $P(Y\le b\mid X>a)$，条件事件有正概率，直接用
\[
\frac{P(Y\le b,X>a)}{P(X>a)}
\]
更直接，不必构造条件密度。
\end{example}

\subsection{连续型独立性}

\begin{theorem}[连续型独立判据]
二维连续型随机变量 $X,Y$ 相互独立，当且仅当
\[
f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)
\]
在平面上几乎处处成立。
\end{theorem}

\begin{proof}
\textbf{证明目标：}用联合密度是否分解为边缘密度乘积判断独立。

\textbf{出发点：}独立的定义是 $F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$。

\textbf{关键转换：}对联合分布函数分别求偏导；反向则积分恢复分布函数。

\textbf{正式推导：}若 $X,Y$ 独立，在可求导处
\[
f(x,y)=\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}
[F_X(x)F_Y(y)]=f_X(x)f_Y(y).
\]
反之，若密度几乎处处分解，则
\[
\begin{aligned}
F(x,y)
&=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f_X(u)f_Y(v)\,\mathrm dv\,\mathrm du\\
&=F_X(x)F_Y(y),
\end{aligned}
\]
故 $X,Y$ 独立。

\textbf{证明小结：}除了代数因式分解，还必须检查支持集是否能写成两个一维支持集的直积。三角形或圆盘支持集通常已经否定独立。
\end{proof}

\begin{note}[三种“看起来能拆”的误判]
\begin{enumerate}
  \item 只看公式主体能拆，忽略支持集不能拆；
  \item 只在支持集内部验证乘积相等，忽略外部；
  \item 看到 $P(A\cap B)$ 就擅自写成 $P(A)P(B)$，尚未证明独立。
\end{enumerate}
\end{note}

\subsection*{小结}
二维连续型概率由联合密度在平面区域上的二重积分得到。求边缘是把另一个变量积掉；求条件密度是联合除以相应边缘，并先检查分母为正；判断独立要同时检查密度乘积和支持集结构。计算前先画支持集，再决定积分限。

\section{二维均匀分布与二维正态分布}

\subsection{二维均匀分布}

\begin{definition}[二维均匀分布]
设 $D$ 是面积为 $S_D$ 的有界平面区域。若
\[
f(x,y)=
\begin{cases}
\dfrac1{S_D},&(x,y)\in D,\\
0,&\text{其他},
\end{cases}
\]
则称 $(X,Y)$ 在 $D$ 上服从二维均匀分布。
\end{definition}

对任意子区域 $G$，
\[
P((X,Y)\in G)=\frac{S_{G\cap D}}{S_D}.
\]
面积比只适用于均匀分布；一般联合密度仍须积分。

\begin{example}[正方形与圆盘：边缘和独立性的区别]
若 $(X,Y)$ 在矩形 $[a,b]\times[c,d]$ 上均匀，则 $X\sim U(a,b)$、$Y\sim U(c,d)$，且联合密度能分解，故 $X,Y$ 独立。

若 $(X,Y)$ 在圆盘 $x^2+y^2\le r^2$ 上均匀，虽然图形对称，但支持集不是两个区间的直积，$X,Y$ 不独立；其边缘密度也不是均匀密度。\textbf{对称不等于独立。}
\end{example}

\subsection{二维正态分布}

\begin{definition}[二维正态分布]
若联合密度为
\[
\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}
\exp\!\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}
\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}
-2\rho\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}
+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\},
\]
其中 $\sigma_1,\sigma_2>0$、$|\rho|<1$，则记
\[
(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho).
\]
\end{definition}

\begin{theorem}[二维正态分布的常用性质]
若 $(X,Y)$ 服从上述二维正态分布，则：
\begin{enumerate}
  \item $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$；
  \item $X,Y$ 独立当且仅当 $\rho=0$；
  \item 任意非零线性组合 $aX+bY$ 仍服从正态分布；
  \item 条件分布仍为正态分布。
\end{enumerate}
本阶段将这些结论作为 C 级结论使用，不要求复现完整解析证明。
\end{theorem}

\begin{note}[边缘正态不保证联合正态]
$X,Y$ 各自服从正态分布，并不能推出 $(X,Y)$ 联合正态，也不能推出 $X+Y$ 正态。例如令 $Y=-X$，二者边缘均可为标准正态，但 $X+Y\equiv0$。若再给出 $X,Y$ 独立，则联合分布为二维正态，线性组合才可直接套正态结论。
\end{note}

\begin{longexample}[独立正态变量的装配问题]
木塞直径 $X\sim N(22.40,0.03^2)$，瓶口直径 $Y\sim N(22.50,0.04^2)$，且 $X,Y$ 独立。求木塞能装入瓶口的概率，已知 $\Phi(2)=0.9772$。
\tcblower
能装入的事件是 $X<Y$，即 $X-Y<0$。独立正态的线性组合仍正态：
\[
X-Y\sim N\left(22.40-22.50,\ 0.03^2+0.04^2\right)
=N(-0.10,0.05^2).
\]
因此
\[
P(X<Y)=P\!\left(\frac{X-Y+0.10}{0.05}<2\right)
=\Phi(2)=0.9772.
\]
\textbf{方法选择：}直接把二维事件化为一个正态线性组合，比写二维积分简单得多。
\end{longexample}

\subsection*{小结}
二维均匀分布把概率化为面积比，但只能在密度恒定的支持集内使用；矩形均匀分布的两个分量独立，圆盘均匀分布通常不独立。二维正态的边缘仍正态，且只有在二维正态前提下，$\rho=0$ 才与独立等价。遇到独立正态的线性组合，优先降成一维正态问题。

\section{二维随机变量函数的分布}

\subsection{离散型：合并产生同一函数值的概率}

若 $(X,Y)$ 为离散型，$Z=g(X,Y)$ 的分布律按两步得到：先列出所有可能的 $z$，再将所有满足 $g(x_i,y_j)=z$ 的格点概率相加：
\[
P(Z=z)=\sum_{(i,j):\,g(x_i,y_j)=z}p_{ij}.
\]

\begin{longexample}[离散型和与最小值]
设联合分布律为
\[
\begin{array}{c|ccc}
 &Y=-1&Y=0&Y=1\\\hline
X=0&\frac1{16}&\frac2{16}&\frac5{16}\\
X=1&\frac4{16}&\frac4{16}&0
\end{array}
\]
求 $U=X+Y$ 与 $V=\min(X,Y)$ 的分布律。
\tcblower
$U$ 的可能取值为 $-1,0,1,2$。逐条合并同一函数值：
\[
\begin{array}{c|cccc}
u&-1&0&1&2\\\hline
P(U=u)&\frac1{16}&\frac6{16}&\frac9{16}&0
\end{array}
\]
其中 $P(U=0)=P(0,0)+P(1,-1)=6/16$，其余同理。

$V$ 的可能取值为 $-1,0,1$：
\[
P(V=-1)=\frac5{16},\qquad
P(V=0)=\frac{11}{16},\qquad
P(V=1)=0.
\]
\textbf{检查：}每张新分布表的概率之和都应为 $1$；不能只代入格点而忘记合并重复函数值。
\end{longexample}

\subsection{连续型通法：分布函数法}

\begin{theorem}[二维随机变量函数的分布函数法]
设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $f(x,y)$，$Z=g(X,Y)$。则
\[
F_Z(z)=P(g(X,Y)\le z)
=\iint_{g(x,y)\le z}f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy,
\]
积分区域还必须与联合密度的支持集取交集。若 $F_Z$ 可导，则 $f_Z(z)=F_Z'(z)$。
\end{theorem}

\begin{proof}
\textbf{证明目标：}由 $(X,Y)$ 的联合密度求 $Z=g(X,Y)$ 的分布。

\textbf{出发点：}分布函数定义 $F_Z(z)=P(Z\le z)$ 与区域概率公式。

\textbf{关键转换：}把一维事件 $\{Z\le z\}$ 翻译成平面事件 $\{g(X,Y)\le z\}$。

\textbf{正式推导：}
\[
\begin{aligned}
F_Z(z)
&=P(Z\le z)\\
&=P(g(X,Y)\le z)\\
&=\iint_{\{(x,y):\,g(x,y)\le z\}}f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy.
\end{aligned}
\]
若该分布函数在相应区间可导，再求导得到密度。

\textbf{证明小结：}分布函数法是通法。最难的一步不是求导，而是让曲线 $g(x,y)=z$ 在支持集上移动，判断交集形状何时改变。
\end{proof}

\begin{note}[分布函数法的固定流程]
\begin{enumerate}
  \item 先由支持集估计 $Z$ 的取值范围；
  \item 写 $F_Z(z)=P(g(X,Y)\le z)$；
  \item 画支持集和边界曲线 $g(x,y)=z$；
  \item 按交点变化处分段积分；
  \item 求导后补写支持集外密度为 $0$，并检查总积分为 $1$。
\end{enumerate}
\end{note}

\subsection{和的密度与卷积}

\begin{theorem}[和的密度公式]
设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $f(x,y)$，$Z=X+Y$，则
\[
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\,\mathrm dx.
\]
若 $X,Y$ 独立，则
\[
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx,
\]
称为卷积公式。
\end{theorem}

\begin{proof}
\textbf{证明目标：}从联合密度推导 $Z=X+Y$ 的密度。

\textbf{出发点：}分布函数法与变上限积分求导。

\textbf{关键转换：}事件 $X+Y\le z$ 等价于 $y\le z-x$。

\textbf{正式推导：}
\[
F_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}
\left[\int_{-\infty}^{z-x}f(x,y)\,\mathrm dy\right]\mathrm dx.
\]
对 $z$ 求导得
\[
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\,\mathrm dx.
\]
独立时代入 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，即得卷积公式。

\textbf{证明小结：}卷积的积分限表面上是全实轴，真正有效的范围由 $x$ 同时满足 $f_X(x)\ne0$ 与 $f_Y(z-x)\ne0$ 决定；这就是支持集交集的几何意义。
\end{proof}

\begin{longexample}[两个独立均匀变量之和]
设 $X,Y$ 相互独立且均服从 $U(0,1)$，求 $Z=X+Y$ 的密度。
\tcblower
由卷积公式，
\[
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}
\mathbf 1_{(0,1)}(x)\mathbf 1_{(0,1)}(z-x)\,\mathrm dx.
\]
有效的 $x$ 同时满足 $0<x<1$ 与 $z-1<x<z$，故积分区间长度为
\[
f_Z(z)=
\begin{cases}
z,&0<z<1,\\
2-z,&1\le z<2,\\
0,&\text{其他}.
\end{cases}
\]
\textbf{结果检查：}密度呈三角形、关于 $z=1$ 对称，总面积为 $1$；这与 $Z\in(0,2)$ 相符。
\end{longexample}

\begin{note}[其他变换公式的掌握层级]
对 $Z=aX+bY$、$Z=Y/X$、$Z=XY$ 可由变量变换得到带绝对值因子的积分公式。一般多维变量变换的严格雅可比证明属于 C 级，本阶段不要求复现；遇到不熟悉的变换时，优先使用分布函数法，避免只背公式而漏掉支持集和绝对值。
\end{note}

\subsection{正态线性组合}

若 $X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)$ 相互独立，则
\[
\sum_{i=1}^na_iX_i
\sim N\!\left(\sum_{i=1}^na_i\mu_i,
\sum_{i=1}^na_i^2\sigma_i^2\right).
\]
正态线性组合应直接识别分布，不必再做卷积或分布函数积分。

\begin{example}[正态差的密度]
若 $X\sim N(1,\sigma^2)$、$Y\sim N(0,2\sigma^2)$ 独立，令 $Z=X-Y$，则
\[
Z\sim N(1,3\sigma^2),
\]
所以
\[
f_Z(z)=\frac1{\sqrt{6\pi}\sigma}
\exp\!\left[-\frac{(z-1)^2}{6\sigma^2}\right].
\]
\end{example}

\subsection*{小结}
离散型函数分布靠“列新取值、合并同值格点”；连续型通法是把 $Z\le z$ 还原成平面区域后积分。和的密度可用卷积，但有效积分限仍由支持集决定；正态独立线性组合直接写分布。使用任何公式前先判断离散或连续、是否独立以及新变量的取值范围。

\section{最大值、最小值与可加性}

\subsection{独立随机变量的最大值与最小值}

\begin{theorem}[最大值与最小值的分布]
设 $X_1,\ldots,X_n$ 相互独立，分布函数分别为 $F_1,\ldots,F_n$。令
\[
M=\max(X_1,\ldots,X_n),
\qquad
L=\min(X_1,\ldots,X_n).
\]
则
\[
F_M(z)=\prod_{i=1}^nF_i(z),
\]
\[
F_L(z)=1-\prod_{i=1}^n[1-F_i(z)].
\]
若还同分布于 $F$，则
\[
F_M(z)=[F(z)]^n,
\qquad
F_L(z)=1-[1-F(z)]^n.
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
\textbf{证明目标：}从分布函数定义推出最大值、最小值公式。

\textbf{出发点：}独立事件的交集概率等于概率乘积。

\textbf{关键转换：}“最大值不超过 $z$”等价于所有变量都不超过 $z$；“最小值不超过 $z$”先取补集更容易。

\textbf{正式推导：}
\[
\begin{aligned}
F_M(z)
&=P(M\le z)\\
&=P(X_1\le z,\ldots,X_n\le z)\\
&=\prod_{i=1}^nP(X_i\le z)
=\prod_{i=1}^nF_i(z).
\end{aligned}
\]
对最小值，
\[
\begin{aligned}
F_L(z)
&=1-P(L>z)\\
&=1-P(X_1>z,\ldots,X_n>z)\\
&=1-\prod_{i=1}^n[1-F_i(z)].
\end{aligned}
\]

\textbf{证明小结：}最大值喜欢“$\le$”，最小值喜欢先转成“$>$”。独立性是把交集概率拆成乘积的必要前提，不能遗漏。
\end{proof}

\begin{example}[独立指数变量的最小值]
若 $X_i\sim E(\lambda_i)$ 相互独立，$L=\min(X_1,\ldots,X_n)$，则对 $z\ge0$，
\[
P(L>z)=\prod_{i=1}^ne^{-\lambda_i z}
=e^{-(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)z}.
\]
所以
\[
L\sim E(\lambda_1+\cdots+\lambda_n).
\]
它描述多个独立部件中“第一个失效时间”。
\end{example}

\subsection{常见可加性结论}

在相互独立且参数条件匹配时，有：
\begin{itemize}
  \item $B(n_1,p)+B(n_2,p)\sim B(n_1+n_2,p)$；
  \item $P(\lambda_1)+P(\lambda_2)\sim P(\lambda_1+\lambda_2)$；
  \item 独立正态变量的线性组合仍为正态；
  \item 独立卡方变量之和的自由度相加；
  \item 独立指数变量的\textbf{最小值}仍为指数分布，参数相加。
\end{itemize}
可加性必须连同独立性和“哪些参数必须相同”一起记，不能只背分布名称。

\subsection*{小结}
最大值分布直接研究“全部不超过”，最小值分布先取补集研究“全部超过”；只有相互独立时才能把联合事件拆成乘积。常见分布的可加性还需核对参数条件，例如二项分布必须有相同成功概率。

\section{本章总结}

\subsection{知识结构}
\[
(X,Y)
\longrightarrow
\begin{cases}
\text{联合分布函数 }F(x,y),\\
\text{离散型联合分布律 }p_{ij},\\
\text{连续型联合密度 }f(x,y),
\end{cases}
\longrightarrow
\begin{cases}
\text{边缘分布},\\
\text{条件分布},\\
\text{独立性},\\
Z=g(X,Y)\text{ 的分布}.
\end{cases}
\]

\subsection{核心公式与适用条件}

\begin{center}
\begin{tabular}{p{0.25\textwidth}p{0.43\textwidth}p{0.22\textwidth}}
\toprule
任务 & 公式 & 使用前检查\\
\midrule
矩形概率 & 四项容斥 & 端点开闭\\
离散边缘 & $p_{i\cdot}=\sum_jp_{ij}$ & 格点是否列全\\
连续边缘 & $f_X(x)=\int f(x,y)\,\mathrm dy$ & 支持集与积分限\\
条件密度 & $f_{Y\mid X}=f/f_X$ & 分母必须为正\\
独立判据 & $p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}$ 或 $f=f_Xf_Y$ & 对所有取值成立\\
函数分布 & $F_Z(z)=P(g(X,Y)\le z)$ & 新变量范围与分段点\\
卷积 & $f_{X+Y}(z)=\int f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ & 独立性与有效积分区间\\
最大值 & $F_M=\prod_iF_i$ & 相互独立\\
最小值 & $F_L=1-\prod_i(1-F_i)$ & 相互独立\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{常见题型与方法选择}
\begin{enumerate}
  \item \textbf{联合分布函数题：}把事件画成左下矩形，有限矩形用四项容斥。
  \item \textbf{离散表格综合题：}先列全格点，再按“联合—边缘—条件—独立”顺序处理。
  \item \textbf{连续区域概率：}支持集与目标区域取交集，在交集上二重积分。
  \item \textbf{边缘与条件密度：}先画切片范围；条件密度用联合除边缘。
  \item \textbf{独立性：}先看支持集能否拆成直积，再验证联合是否等于边缘乘积。
  \item \textbf{函数分布：}分布函数法是通法；和可用卷积；独立正态线性组合直接识别。
  \item \textbf{极值分布：}最大值用全部“$\le$”，最小值转为全部“$>$”。
\end{enumerate}

\subsection{重点辨析}
\begin{center}
\begin{tabular}{p{0.23\textwidth}p{0.32\textwidth}p{0.34\textwidth}}
\toprule
概念 & 本质区别 & 常见误判\\
\midrule
联合与边缘 & 联合保留共同变化，边缘忽略另一变量 & 边缘相同就以为联合相同\\
互斥与独立 & 互斥是不同时发生，独立是不影响概率 & 把不可能格点当成独立证据\\
等号条件与区间条件 & 前者用条件密度，后者可用普通条件概率 & 用 $0/0$ 直接定义条件概率\\
均匀与独立 & 区域内密度恒定不保证支持集可拆 & 圆盘均匀也判断独立\\
不相关与独立 & 一般不等价；二维正态中才有特殊等价 & 看到 $\rho=0$ 就无条件说独立\\
卷积与通法 & 卷积适合和且常需独立，分布函数法通用 & 不画支持集直接写全实轴积分\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{易错点}
\begin{enumerate}
  \item 联合分布函数的矩形增量符号写错，或漏检二重单调性。
  \item 求边缘时积分限机械写成常数，没有随支持集切片变化。
  \item 条件密度的分母选错，或没有检查边缘密度是否大于零。
  \item 仅凭联合密度主体可因式分解就判断独立，忽略支持集。
  \item 一般二维均匀分布擅用面积比以外的“独立”结论。
  \item 只知道两个边缘正态，就断言线性组合正态。
  \item 求 $Z=g(X,Y)$ 时不先求取值范围，导致漏段或积分限错误。
  \item 最大值、最小值公式忘记相互独立前提。
\end{enumerate}

\subsection{证明掌握清单}
\begin{itemize}
  \item \textbf{A 级：}会独立推导边缘分布、条件分布与独立判据；会用分布函数法和卷积求函数分布；会推导最大值、最小值公式。
  \item \textbf{B 级：}理解条件密度来自小区间条件化；理解卷积积分限的几何意义；理解二维正态中独立与相关的特殊关系。
  \item \textbf{C 级：}一般多维变量变换的严格雅可比证明，以及二维正态性质的完整解析证明，本阶段只要求准确使用结论。
\end{itemize}

\subsection{自测题}

\begin{exercise}[离散型综合]
给出一个 $2\times3$ 联合分布表，其中含未知参数 $a$。请依次求 $a$、两个边缘分布、$P(X+Y\le1)$、一个有定义的条件分布，并判断独立性。
\end{exercise}

\begin{exercise}[三角形支持集]
设
\[
f(x,y)=
\begin{cases}
c,&0<x<y<1,\\
0,&\text{其他}.
\end{cases}
\]
求 $c$、$f_X,f_Y$、$f_{Y\mid X}$，并判断 $X,Y$ 是否独立。
\end{exercise}

\begin{exercise}[函数分布]
设 $X,Y$ 独立且均服从 $U(0,1)$。不用背结论，分别用分布函数法求 $\max(X,Y)$ 与 $\min(X,Y)$ 的分布函数，并解释为何两式结构不同。
\end{exercise}

\begin{exercise}[卷积与检查]
设 $X,Y$ 独立且都服从参数为 $1$ 的指数分布。用卷积求 $Z=X+Y$ 的密度，再检查其非负性、支持集和归一性。
\end{exercise}

\begin{note}[本章自检]
完成本章后，应能回答：联合、边缘和条件分布分别保留什么信息？为什么连续型条件 $X=x$ 不能直接套普通条件概率？如何从支持集快速排除独立？为什么分布函数法是函数分布的通法？最大值与最小值公式中的独立性具体用在了哪一步？
\end{note}
\end{document}