% !TEX root = ../概率论讲义.tex \documentclass[../概率论讲义.tex]{subfiles} \begin{document} % 主资料：参考资料/网课讲义/第四章 数字特征.pdf % 字幕范围：P40--P49 \setcounter{chapter}{3} \chapter{随机变量的数字特征} \section*{本章导读} 前几章用分布完整描述随机变量，但很多问题不需要保存全部分布信息。例如，比较两种方案时可能只关心长期平均收益、波动大小以及两个指标是否同向变化。数字特征就是把分布压缩成少数有解释力的数： \[ \text{中心位置：期望},\qquad \text{波动程度：方差},\qquad \text{共同变化：协方差与相关系数}. \] 本章始终沿着同一条计算链工作： \[ \text{已知分布} \longrightarrow E(X),E(X^2),E(XY) \longrightarrow D(X),\operatorname{Cov}(X,Y),\rho_{XY}. \] 其中期望是根。方差、协方差和相关系数最终都要回到期望计算。 \section{数学期望} \subsection{定义、存在性与直观含义} \begin{definition}[离散型随机变量的数学期望] 设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 \[ P(X=x_k)=p_k,\qquad k=1,2,\ldots. \] 若级数 $\sum_k x_kp_k$ 绝对收敛，则定义 \[ E(X)=\sum_kx_kp_k. \] 否则称 $X$ 的数学期望不存在。 \end{definition} \begin{definition}[连续型随机变量的数学期望] 设连续型随机变量 $X$ 的密度为 $f(x)$。若 \[ \int_{-\infty}^{+\infty}|x|f(x)\,\mathrm dx<+\infty, \] 则定义 \[ E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,\mathrm dx. \] \end{definition} 数学期望是按概率加权的平均位置。它不一定是随机变量可能取到的值，也不保证每个随机变量都存在期望。绝对收敛保证求和或积分次序不影响唯一结果。 \begin{note}[对称不能代替存在性检查] 标准柯西密度 \[ f(x)=\frac1{\pi(1+x^2)},\qquad x\in\mathbb R, \] 关于原点对称，但 \[ \int_{-\infty}^{+\infty}|x|f(x)\,\mathrm dx=+\infty. \] 因此其期望不存在。把左右两端对称抵消得到的主值为 $0$，不是概率论定义下的期望。 \end{note} \begin{longexample}[离散型期望与函数期望] 设 \[ \begin{array}{c|ccc} x&-2&0&2\\\hline P(X=x)&\frac4{10}&\frac3{10}&\frac3{10} \end{array} \] 求 $E(X)$ 与 $E(3X^2+5)$。 \tcblower 直接按“取值乘概率”求和： \[ E(X)=(-2)\frac4{10}+0\cdot\frac3{10}+2\frac3{10}=-\frac15. \] 先求 \[ E(X^2)=4\frac4{10}+0+4\frac3{10}=\frac{14}{5}, \] 再利用期望的线性性： \[ E(3X^2+5)=3E(X^2)+5=\frac{67}{5}. \] \textbf{方法选择：}无需先求 $3X^2+5$ 的分布律；直接计算函数期望更短。 \end{longexample} \subsection{随机变量函数的期望} \begin{theorem}[一维随机变量函数的期望] 若 $Y=g(X)$ 且相应绝对收敛条件成立，则： \begin{itemize} \item 离散型： \[ E[g(X)]=\sum_kg(x_k)p_k; \] \item 连续型： \[ E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f_X(x)\,\mathrm dx. \] \end{itemize} \end{theorem} 这条公式常称为“无须先求函数分布的期望公式”。口诀是：\textbf{求谁的期望，就把谁乘在原分布前面求和或积分。} \begin{longexample}[分段函数的期望] 设 $X\sim E(1)$，令 $Z=\max(X,1)$，求 $E(Z)$。 \tcblower $Z$ 在 $00$ 得 $\lambda=2$。当期望、方差有现成结论时，不必重新对分布律求和。 \end{example} \subsection{独立正态的线性组合} 若 $X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)$ 相互独立，则 \[ Z=\sum_{i=1}^na_iX_i+b \sim N\!\left(\sum_{i=1}^na_i\mu_i+b, \sum_{i=1}^na_i^2\sigma_i^2\right). \] \begin{example}[现场确定正态参数] 设 $X\sim N(-3,1)$、$Y\sim N(2,1)$，且相互独立。令 $Z=X-2Y+7$，则 \[ E(Z)=-3-2\times2+7=0, \] \[ D(Z)=1+(-2)^2\times1=5. \] 因此 $Z\sim N(0,5)$。 \end{example} \subsection{最大值与最小值的期望技巧} 对任意实数 $x,y$，有 \[ \max(x,y)+\min(x,y)=x+y, \qquad \max(x,y)\min(x,y)=xy, \] 以及 \[ \max(x,y)=\frac{x+y+|x-y|}{2}, \quad \min(x,y)=\frac{x+y-|x-y|}{2}. \] 这些恒等式常比先求极值分布再积分更短。 \begin{longexample}[两个独立指数变量的极值期望] 设 $X,Y$ 独立且均服从 $E(1)$。令 \[ U=\max(X,Y),\qquad V=\min(X,Y). \] 求 $E(U),E(V),E(UV)$。 \tcblower 独立指数变量的最小值仍为指数分布，参数相加，因此 \[ V\sim E(2),\qquad E(V)=\frac12. \] 又由 $U+V=X+Y$， \[ E(U)=E(X)+E(Y)-E(V)=1+1-\frac12=\frac32. \] 由 $UV=XY$ 且 $X,Y$ 独立， \[ E(UV)=E(XY)=E(X)E(Y)=1. \] \textbf{易错点：}$U,V$ 一般不独立，不能把 $E(UV)$ 直接拆成 $E(U)E(V)$；这里是先用 $UV=XY$ 换回独立的 $X,Y$。 \end{longexample} \subsection*{小结} 常见分布的期望、方差应连同参数口径熟记。反求参数时联立期望和方差；已知期望、方差时可反求二阶矩。独立正态线性组合直接由期望和方差确定参数；极值期望优先检查和、积及绝对值恒等式，避免不必要地先求完整分布。 \section{切比雪夫不等式} \begin{theorem}[切比雪夫不等式] 若 $E(X)=\mu$、$D(X)=\sigma^2$ 存在，则对任意 $\varepsilon>0$， \[ P(|X-\mu|\ge\varepsilon) \le\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}. \] 等价地， \[ P(|X-\mu|<\varepsilon) \ge1-\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}. \] \end{theorem} \begin{note}[为什么成立（B 级证明骨架）] 在事件 $|X-\mu|\ge\varepsilon$ 上，$(X-\mu)^2\ge\varepsilon^2$。因此该事件的概率质量乘以 $\varepsilon^2$ 不超过全部平方偏差的期望 $D(X)$。离散型用求和、连续型用积分即可写成严格放缩。本阶段应能复述这条思路并准确调用结论。 \end{note} \begin{example}[直接估计偏离期望的概率] 若 $D(X)=2$，则 \[ P(|X-E(X)|\ge2)\le\frac{2}{2^2}=\frac12. \] 切比雪夫不等式只利用期望和方差，不需要知道 $X$ 的具体分布，因此给出的是普适上界，不一定精确。 \end{example} \begin{longexample}[先构造中心化变量再使用不等式] 已知 \[ E(X)=E(Y)=2,\quad D(X)=1,\quad D(Y)=4,\quad \rho_{XY}=0.5. \] 估计 $P(|X-Y|\ge6)$ 的上界。 \tcblower 令 $Z=X-Y$。先检查中心： \[ E(Z)=E(X)-E(Y)=0, \] 所以 $|X-Y|=|Z-E(Z)|$。 由 \[ \operatorname{Cov}(X,Y) =\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)} =0.5\times1\times2=1, \] 得 \[ D(Z)=D(X)+D(Y)-2\operatorname{Cov}(X,Y)=1+4-2=3. \] 因此 \[ P(|X-Y|\ge6)\le\frac3{36}=\frac1{12}. \] \textbf{方法选择：}切比雪夫形式必须围绕期望；若题面没有显式出现期望，应先构造新变量并计算其期望、方差。 \end{longexample} \subsection*{小结} 切比雪夫不等式用方差控制偏离期望的概率，不依赖具体分布。使用时先确认期望、方差存在，并把目标事件写成 $|Z-E(Z)|\ge\varepsilon$；右端一定是“方差除以距离平方”。 \section{协方差} \subsection{定义、计算与性质} \begin{definition}[协方差] 若相应期望存在，定义 \[ \operatorname{Cov}(X,Y) =E[(X-E(X))(Y-E(Y))] \] 为 $X,Y$ 的协方差。 \end{definition} 协方差为正，表示两个变量相对各自期望的偏差倾向同号；协方差为负，表示偏差倾向异号。但它受单位和尺度影响，不能直接跨量纲比较强弱。 \begin{theorem}[协方差的易计算公式] \[ \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). \] \end{theorem} \begin{note}[展开思路（B 级）] 把定义中的乘积展开并使用期望线性性，四项中有三项合并，得到“乘积期望减期望乘积”。因此从联合分布计算协方差时，固定求 $E(XY),E(X),E(Y)$ 三个量。 \end{note} \begin{theorem}[协方差的运算性质] \begin{enumerate} \item $\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(Y,X)$； \item $\operatorname{Cov}(X,C)=0$； \item $\operatorname{Cov}(aX,bY)=ab\operatorname{Cov}(X,Y)$； \item $\operatorname{Cov}(X,X)=D(X)$； \item 协方差对每个变量都具有线性性； \item 若 $X,Y$ 独立，则 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$； \item \[ D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm2\operatorname{Cov}(X,Y). \] \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} \textbf{证明目标：}推导一般和差方差公式，并指出独立情形为何可简化。 \textbf{出发点：}方差与协方差的定义。 \textbf{关键转换：}把中心化后的和差平方展开。 \textbf{正式推导：} \[ \begin{aligned} D(X\pm Y) &=E\{[(X-E(X))\pm(Y-E(Y))]^2\}\\ &=E[(X-E(X))^2]+E[(Y-E(Y))^2]\\ &\quad\pm2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\\ &=D(X)+D(Y)\pm2\operatorname{Cov}(X,Y). \end{aligned} \] 若 $X,Y$ 独立，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$，故协方差为零，和差方差均化为方差之和。 \textbf{证明小结：}方差不能无条件拆开，缺少的“小尾巴”正是二倍协方差。独立只是一种让协方差归零的充分条件。 \end{proof} \begin{longexample}[由联合分布计算协方差] 设 \[ \begin{array}{c|ccc} &Y=-1&Y=0&Y=1\\\hline X=0&0.07&0.18&0.15\\ X=1&0.08&0.32&0.20 \end{array} \] 求 $\operatorname{Cov}(X^2,Y^2)$。 \tcblower 由于 $X\in\{0,1\}$，有 $X^2=X$；由于 $Y\in\{-1,0,1\}$，$Y^2$ 是 $Y\ne0$ 的指示变量。 \[ E(X^2)=P(X=1)=0.60, \] \[ E(Y^2)=P(|Y|=1)=0.07+0.15+0.08+0.20=0.50, \] \[ E(X^2Y^2)=P(X=1,|Y|=1)=0.08+0.20=0.28. \] 所以 \[ \operatorname{Cov}(X^2,Y^2)=0.28-0.60\times0.50=-0.02. \] \textbf{关键转折：}先利用取值简化平方，再把乘积期望识别成一个事件概率。 \end{longexample} \subsection*{小结} 协方差衡量两个变量中心化偏差的共同变化，计算时固定求三个期望。协方差对加法线性、常数消失，且补全了非独立情形的和差方差公式。独立推出协方差为零，但逆命题一般不成立。 \section{相关系数} 协方差能够判断共同变化的方向，但它会随单位和尺度改变。例如把“米”换成“厘米”，协方差会被放大。为了得到一个无量纲、便于比较的指标，需要把协方差标准化。 \begin{definition}[相关系数] 设随机变量 $X,Y$ 的方差存在且 \[ D(X)>0,\qquad D(Y)>0. \] 称 \[ \rho_{XY}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} \] 为 $X,Y$ 的相关系数。 \end{definition} \begin{note} 定义前必须检查两个方差都严格大于零。若某个变量几乎处处为常数，它没有随机波动，分母为零，相关系数便没有定义。相关系数描述的是\textbf{线性相关程度}，不是一般意义下所有依赖关系的强弱。 \end{note} \begin{theorem}[相关系数的基本性质] 若 $D(X)>0,D(Y)>0$，则： \begin{enumerate} \item $\rho_{XY}=\rho_{YX}$； \item $-1\le \rho_{XY}\le 1$； \item 对 $a,c\ne0$， \[ \rho_{aX+b,\,cY+d}=\operatorname{sgn}(ac)\rho_{XY}; \] \item $|\rho_{XY}|=1$ 当且仅当存在常数 $a\ne0,b$，使 \[ Y=aX+b\quad\text{几乎处处成立}. \] 此时 $\rho_{XY}=1$ 对应 $a>0$，$\rho_{XY}=-1$ 对应 $a<0$。 \end{enumerate} \end{theorem} \begin{note}[为什么相关系数的绝对值不超过 $1$] 令 \[ U=\frac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)}},\qquad V=\frac{Y-E(Y)}{\sqrt{D(Y)}}. \] 则 $E(U)=E(V)=0$，$E(U^2)=E(V^2)=1$，并且 $\rho_{XY}=E(UV)$。由柯西--施瓦茨不等式， \[ |E(UV)|^2\le E(U^2)E(V^2)=1. \] 所以 $|\rho_{XY}|\le1$。等号成立恰好对应 $U,V$ 几乎处处成比例，从而 $X,Y$ 存在几乎处处成立的线性关系。 这里使用了较高层次的不等式及其等号条件。现阶段应掌握标准化思路和证明骨架；严格的不等式理论细节\textbf{本阶段不要求复现}。 \end{note} \begin{longexample}[完全负线性相关] 在长度为 $1$ 的木棍上随机选一点截断，令左段长度为 $X$，右段长度为 $Y$。求 $\rho_{XY}$。 \tcblower 由几何关系，$Y=1-X$。只要截点不是固定的，就有 $D(X)>0$，且 \[ \operatorname{Cov}(X,Y) =\operatorname{Cov}(X,1-X)=-D(X), \] \[ D(Y)=D(1-X)=D(X). \] 因此 \[ \rho_{XY}=\frac{-D(X)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(X)}}=-1. \] \textbf{方法选择：}看到确定的线性关系，直接使用 $|\rho|=1$ 的性质，比先求联合分布更简洁。 \textbf{结果检查：}左段变长时右段必等量变短，完全反向线性变化，故结果应为 $-1$。 \end{longexample} \begin{example}[尺度变化不改变相关强弱] 若 $D(X),D(Y)>0$ 且 $\rho_{XY}=0.8$，令 $U=100X+3$，$V=-2Y+5$，则 \[ \rho_{UV}=\operatorname{sgn}(100\times(-2))\rho_{XY}=-0.8. \] 平移不影响相关系数；正比例缩放不改变符号，负比例缩放会反转符号。 \end{example} \subsection*{协方差与相关系数的辨析} \begin{center} \begin{tabular}{>{\bfseries}p{2.4cm}p{5.7cm}p{5.7cm}} \toprule 比较项 & 协方差 & 相关系数 \\ \midrule 定义 & $\operatorname{Cov}(X,Y)$ & 协方差除以两个标准差 \\ 量纲 & 有量纲，随单位改变 & 无量纲 \\ 取值范围 & 没有统一范围 & $[-1,1]$ \\ 主要作用 & 判断共同变化方向，补全和差方差 & 衡量线性相关的方向与标准化程度 \\ 使用条件 & 相关二阶矩存在 & 还要求两个方差严格大于零 \\ 常见误判 & 数值大就认为关系强 & $\rho=0$ 就认为完全没有关系 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \subsection*{小结} 相关系数是标准化后的协方差，取值在 $[-1,1]$，只衡量线性相关。使用前先检查两个方差是否严格大于零；$|\rho|=1$ 表示几乎处处存在确定的线性关系，而 $\rho=0$ 只表示没有线性相关，不能直接推出独立。 \section{不相关与独立} 这一节解决本章最重要的逻辑辨析：两个变量的协方差为零，究竟能说明什么？它与独立到底相差多远？ \begin{definition}[不相关] 若 $X,Y$ 的二阶矩存在，且 \[ \operatorname{Cov}(X,Y)=0, \] 则称 $X,Y$ 不相关。当 $D(X)>0,D(Y)>0$ 时，这也等价于 $\rho_{XY}=0$。 \end{definition} \begin{theorem}[不相关的等价刻画] 设 $X,Y$ 的二阶矩存在，则下列命题等价： \begin{enumerate} \item $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$； \item $E(XY)=E(X)E(Y)$； \item $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$； \item $D(X-Y)=D(X)+D(Y)$。 \end{enumerate} 若再有 $D(X)>0,D(Y)>0$，它们还等价于 $\rho_{XY}=0$。 \end{theorem} \begin{proof} \textbf{证明目标：}证明“不相关”的几种常见说法可以互相替换。 \textbf{出发点：}协方差易计算公式、和差方差公式以及相关系数定义。 \textbf{关键转换：}每个等式与标准形式比较，分离出其中的协方差项。 \textbf{正式推导：} 由 \[ \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y), \] 立即得到命题 1 与命题 2 等价。又因为 \[ D(X+Y)-D(X)-D(Y)=2\operatorname{Cov}(X,Y), \] \[ D(X-Y)-D(X)-D(Y)=-2\operatorname{Cov}(X,Y), \] 所以命题 1 分别与命题 3、命题 4 等价。若两个方差严格大于零，则相关系数的分母为正，故 \[ \rho_{XY}=0\Longleftrightarrow\operatorname{Cov}(X,Y)=0. \] \textbf{证明小结：}这些等价关系都来自同一个量 $\operatorname{Cov}(X,Y)$。使用时可选择题目中最容易计算的一种形式，但必须先确认相关矩存在；涉及相关系数时还要检查方差不为零。 \end{proof} \begin{theorem}[独立与不相关的关系] 若 $X,Y$ 相互独立且二阶矩存在，则 $X,Y$ 不相关。反过来一般不成立。 \end{theorem} \begin{proof} \textbf{证明目标：}由独立性推出协方差为零。 \textbf{出发点：}独立随机变量的函数乘积期望可拆分。 \textbf{关键转换：}把 $E(XY)$ 拆为 $E(X)E(Y)$。 \textbf{正式推导：} 由于 $X,Y$ 独立， \[ E(XY)=E(X)E(Y). \] 因此 \[ \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0. \] \textbf{证明小结：}独立控制的是联合分布的整体结构，所以能推出不相关；不相关只控制一个混合二阶矩，信息远少于独立，因而通常不能反推。 \end{proof} \begin{longexample}[不相关但不独立的反例] 设 $X\sim U(-1,1)$，令 $Y=X^2$。判断 $X,Y$ 是否相关、是否独立。 \tcblower 由于 $X$ 关于原点对称， \[ E(X)=0,\qquad E(XY)=E(X^3)=0. \] 于是 \[ \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, \] 所以 $X,Y$ 不相关。 但 $Y=X^2$ 是由 $X$ 完全决定的。例如一旦知道 $X$，便确定知道 $Y$，二者显然不是独立的。 \textbf{关键转折：}奇函数在对称区间上的期望为零，只能说明线性共同变化被抵消，不能消除确定的非线性关系。 \textbf{易错提醒：}“相关系数为零”应读作“无线性相关”，不能读作“没有任何关系”。 \end{longexample} \begin{theorem}[二维正态分布的特殊结论] 若 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，则 \[ X,Y\text{ 相互独立} \Longleftrightarrow \operatorname{Cov}(X,Y)=0 \Longleftrightarrow \rho_{XY}=0, \] 其中相关系数形式要求两个方差严格大于零。 \end{theorem} \begin{note} 这是二维正态分布的特殊结构，不能推广到任意联合分布。做题时只有明确给出“联合正态”或“二维正态”，才能由不相关反推独立；仅知道两个边缘分布各自为正态仍不够。 \end{note} \subsection*{独立与不相关的辨析} \begin{center} \begin{tabular}{>{\bfseries}p{2.3cm}p{5.8cm}p{5.8cm}} \toprule 比较项 & 独立 & 不相关 \\ \midrule 本质 & 联合分布可由边缘分布分解 & 协方差为零 \\ 控制范围 & 所有适当函数的联合关系 & 只控制一个二阶线性指标 \\ 常用判定 & 联合分布函数或密度分解、事件乘法 & $E(XY)=E(X)E(Y)$ \\ 一般关系 & 有矩条件下推出不相关 & 一般不能推出独立 \\ 特殊情形 & 二维正态中与不相关等价 & 需先确认联合正态 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \subsection*{小结} 不相关等价于协方差为零，也等价于乘积期望可拆分以及和差方差可直接相加。独立在矩存在时一定推出不相关，但不相关通常不能推出独立；只有在二维正态等特殊结构中才能反推。判断时先问“题目给的是一般联合分布，还是联合正态”。 \section{本章总结} \subsection*{知识结构} 本章可以按一条主线组织： \[ \boxed{\text{分布}} \longrightarrow \boxed{\text{期望}} \longrightarrow \boxed{\text{方差}} \longrightarrow \boxed{\text{协方差}} \longrightarrow \boxed{\text{相关系数}}. \] 期望描述中心；方差描述单个变量围绕中心的波动；协方差描述两个变量共同变化；相关系数把协方差标准化。独立性属于联合分布层面的性质，不相关只是二阶矩层面的性质。 \subsection*{核心公式与适用条件} \begin{center} \begin{tabular}{>{\bfseries}p{2.3cm}p{7.3cm}p{4.2cm}} \toprule 对象 & 核心公式 & 使用前检查 \\ \midrule 离散型期望 & $E(X)=\sum_k x_kp_k$ & 绝对收敛 \\ 连续型期望 & $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,\mathrm dx$ & 绝对可积 \\ 函数期望 & $E[g(X)]=\sum g(x_k)p_k$ 或 $\int g(x)f(x)\,\mathrm dx$ & 原变量分布已知，期望存在 \\ 方差 & $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ & 二阶矩存在 \\ 和差方差 & $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm2\operatorname{Cov}(X,Y)$ & 二阶矩存在；不能漏协方差 \\ 协方差 & $\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ & 相关矩存在 \\ 相关系数 & $\rho=\operatorname{Cov}(X,Y)/\sqrt{D(X)D(Y)}$ & 两个方差严格大于零 \\ 切比雪夫 & $P(|X-E(X)|\ge\varepsilon)\le D(X)/\varepsilon^2$ & $\varepsilon>0$，期望和方差存在 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \subsection*{常见题型与方法选择} \begin{enumerate} \item \textbf{求函数的期望：}已知原变量分布时，优先直接计算 $E[g(X)]$，不要先求新变量分布。 \item \textbf{求方差：}通常先求 $E(X)$、$E(X^2)$，再用快捷公式；系数提出时必须平方。 \item \textbf{参数反求：}把题目给出的期望、方差代入对应分布公式，再检查参数范围。 \item \textbf{求协方差：}固定计算 $E(XY),E(X),E(Y)$；若存在简单线性关系，优先用运算性质。 \item \textbf{求线性组合方差：}先写完整协方差公式，只有确认独立或不相关后才能删去交叉项。 \item \textbf{概率粗界：}只知道期望和方差时，把事件整理为偏离期望的形式，再使用切比雪夫不等式。 \item \textbf{判断独立：}一般回到联合分布；只有联合正态等明确特殊条件下，才可用零相关反推独立。 \end{enumerate} \subsection*{重点辨析} \begin{center} \begin{tabular}{>{\raggedright\arraybackslash\bfseries}p{3cm}>{\raggedright\arraybackslash}p{5.4cm}>{\raggedright\arraybackslash}p{5.4cm}} \toprule 容易混淆的说法 & 正确结论 & 常见误判 \\ \midrule 期望线性性 & $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$，不要求独立 & 看到两个变量就额外要求独立 \\ 乘积期望 & 独立可推出 $E(XY)=E(X)E(Y)$ & 无条件拆分乘积 \\ 方差线性性 & 缩放系数平方，和差还含协方差 & 把方差当作期望直接拆 \\ 协方差与相关系数 & 前者有量纲，后者标准化且有界 & 用协方差绝对值直接比较强弱 \\ 零相关与独立 & 独立推出零相关，逆命题一般不成立 & 看见 $\rho=0$ 就判独立 \\ 二维正态 & 联合正态下零相关与独立等价 & 两个边缘正态就套用该结论 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \subsection*{易错点清单} \begin{itemize} \item 不检查期望的绝对收敛或绝对可积，误把发散的正负部分抵消成有限值； \item 求 $E[g(X)]$ 时误把密度写成 $g(f(x))$，忘记“函数乘原密度”； \item 把 $D(aX+b)$ 写成 $aD(X)+b$； \item 未知独立性时擅自写 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$； \item 切比雪夫不等式没有围绕 $E(X)$ 整理事件，或忘记分母平方； \item 相关系数分母为零时仍继续计算； \item 把“无相关”理解成“无任何依赖关系”； \item 忘记二维正态结论要求的是联合正态，而非仅边缘正态。 \end{itemize} \subsection*{证明掌握清单} \begin{itemize} \item \textbf{A级：}能由定义计算并验证期望、方差、协方差和相关系数；能完整推出和差方差公式，并逐项说明条件。 \item \textbf{B级：}能复述切比雪夫不等式的证明骨架；理解方差快捷公式、线性变换、协方差性质、$|\rho|\le1$ 及等号条件的核心转换。 \item \textbf{C级：}知道期望线性性的离散与连续严格证明、$D(X)=0$ 的严格等价证明，以及相关系数有界性的高层不等式细节，本阶段不要求完整复现。 \end{itemize} \subsection*{自测题} \begin{exercise} 设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 \[ P(X=-1)=\frac14,\quad P(X=0)=\frac12,\quad P(X=2)=\frac14. \] 求 $E(X),E(X^2),D(X)$，并用 $D(3X-2)=9D(X)$ 检查 $3X-2$ 的方差。 \end{exercise} \begin{exercise} 设 $E(X)=2,D(X)=3$。不假设具体分布，利用切比雪夫不等式给出 \[ P(-1