% !TEX root = ../概率论讲义.tex \documentclass[../概率论讲义.tex]{subfiles} \begin{document} % 主资料：参考资料/网课讲义/第五章 大数定律和中心极限定理.pdf % 字幕范围：P50--P51 \setcounter{chapter}{4} \chapter{大数定律和中心极限定理} \section*{本章导读} 前四章主要研究一个或少数随机变量。本章把视角转向大量随机变量：重复试验越来越多时，随机性会不会显现出稳定规律？ 本章的两个核心问题是： \begin{enumerate} \item \textbf{大数定律：}大量观测的算术平均会稳定到哪里？ \item \textbf{中心极限定理：}大量独立随机变量的和或平均值，近似服从什么分布？ \end{enumerate} 二者都研究“大量重复”，但回答的问题不同： \[ \boxed{\text{大数定律：稳定值}} \qquad \boxed{\text{中心极限定理：近似分布}}. \] 本章依赖第四章的期望、方差、切比雪夫不等式和正态标准化；下一章讨论样本统计量时，会反复使用这里的结论。 \section{依概率收敛} \subsection{为什么需要一种新的收敛} 普通数列 $x_n\to a$ 表示：当 $n$ 足够大时，$x_n$ 必然落在 $a$ 附近。但随机变量 $X_n$ 的取值具有随机性，不能要求每次取值都落在附近。我们能要求的是：$n$ 越大，$X_n$ 落在 $a$ 附近的概率越接近 $1$。 \begin{definition}[依概率收敛] 设 $\{X_n\}$ 为随机变量序列，$a$ 为常数。若对任意 $\varepsilon>0$，都有 \[ \lim_{n\to\infty}P(|X_n-a|<\varepsilon)=1, \] 则称 $X_n$ 依概率收敛于 $a$，记为 \[ X_n\xrightarrow{P}a. \] 等价地， \[ \lim_{n\to\infty}P(|X_n-a|\ge\varepsilon)=0. \] \end{definition} \begin{note} 定义中有三个不能漏掉的词：\textbf{任意} $\varepsilon>0$、概率的\textbf{极限}、极限等于 $1$ 或 $0$。依概率收敛不表示从某一项起每次都落入邻域，也不表示误差随 $n$ 单调减小。 \end{note} \begin{example}[从定义识别依概率收敛] 设 \[ P(X_n=0)=1-\frac1n,\qquad P(X_n=n)=\frac1n. \] 证明 $X_n\xrightarrow{P}0$。 \tcblower 任取 $\varepsilon>0$。当 $n>\varepsilon$ 时， \[ P(|X_n-0|\ge\varepsilon)=P(X_n=n)=\frac1n\to0. \] 故 $X_n\xrightarrow{P}0$。 \textbf{结果检查：}虽然 $X_n$ 偶尔会取很大的值 $n$，但这种异常取值的概率只有 $1/n$，最终趋于零。这正体现了“允许偶尔偏离，但偏离概率消失”。 \end{example} \subsection{连续函数下的运算性质} \begin{theorem}[依概率收敛的连续映射性质] 若 $X_n\xrightarrow{P}a$，且函数 $g$ 在 $a$ 处连续，则 \[ g(X_n)\xrightarrow{P}g(a). \] 若 $X_n\xrightarrow{P}a$、$Y_n\xrightarrow{P}b$，且二元函数 $g$ 在 $(a,b)$ 处连续，则 \[ g(X_n,Y_n)\xrightarrow{P}g(a,b). \] \end{theorem} 常用特例包括 \[ X_n+Y_n\xrightarrow{P}a+b, \qquad X_nY_n\xrightarrow{P}ab, \] 以及当 $b\ne0$ 时 \[ \frac{X_n}{Y_n}\xrightarrow{P}\frac ab. \] \begin{note} 使用函数结论前必须检查连续性。例如倒数函数 $g(x)=1/x$ 在 $0$ 处不连续，所以由 $X_n\xrightarrow{P}0$ 不能直接推出 $1/X_n$ 的收敛结论。 \end{note} \subsection*{小结} 依概率收敛表示随机变量偏离目标常数至少 $\varepsilon$ 的概率趋于零。判断时固定从定义的两种等价形式出发；进行函数变换时，还要检查函数在极限点是否连续。后面所有大数定律的结论，都是一种依概率收敛。 \section{大数定律} \subsection{共同主线：算术平均稳定到期望} 令 \[ \overline X_n=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i. \] 大数定律研究的典型结论是 \[ \overline X_n-E(\overline X_n)\xrightarrow{P}0, \] 或在同分布情形下 \[ \overline X_n\xrightarrow{P}\mu. \] 直观上，大量观测取平均会削弱个别异常值的影响，使平均值稳定在总体期望附近。 \subsection{切比雪夫大数定律} \begin{theorem}[切比雪夫大数定律] 设随机变量序列 $X_1,X_2,\ldots$ 满足： \begin{enumerate} \item $X_1,X_2,\ldots$ 两两不相关； \item 各随机变量的期望和方差存在； \item 方差一致有界，即存在常数 $C>0$，使 \[ D(X_i)\le C,\qquad i=1,2,\ldots. \] \end{enumerate} 则对任意 $\varepsilon>0$， \[ \lim_{n\to\infty} P\left( \left| \frac1n\sum_{i=1}^nX_i- \frac1n\sum_{i=1}^nE(X_i) \right|<\varepsilon \right)=1. \] 即 \[ \frac1n\sum_{i=1}^nX_i- \frac1n\sum_{i=1}^nE(X_i) \xrightarrow{P}0. \] 特别地，若 $E(X_i)=\mu$，则 \[ \overline X_n\xrightarrow{P}\mu. \] \end{theorem} \begin{note}[怎样由切比雪夫不等式得到大数定律] 这是本章需要理解的 B 级证明骨架。令 \[ Y_n=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i. \] 两两不相关使和的方差可以相加，因此 \[ D(Y_n)=\frac1{n^2}\sum_{i=1}^nD(X_i) \le\frac{nC}{n^2}=\frac Cn. \] 由切比雪夫不等式， \[ P(|Y_n-E(Y_n)|\ge\varepsilon) \le\frac{D(Y_n)}{\varepsilon^2} \le\frac{C}{n\varepsilon^2}\to0. \] 这恰好是 $Y_n-E(Y_n)\xrightarrow{P}0$ 的定义。 真正起作用的链条是 \[ \boxed{\text{两两不相关}} \Longrightarrow \boxed{\text{平均值方差可相加}} \Longrightarrow \boxed{D(Y_n)\to0} \Longrightarrow \boxed{\text{依概率收敛}}. \] \end{note} \subsection{辛钦大数定律} \begin{theorem}[辛钦大数定律] 设 $X_1,X_2,\ldots$ 独立同分布，且 \[ E|X_1|<\infty, \qquad E(X_1)=\mu. \] 则 \[ \overline X_n=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i \xrightarrow{P}\mu. \] \end{theorem} \begin{note} “期望存在”严格地说是 $E|X_1|<\infty$。辛钦大数定律不要求方差存在，因此适用于某些方差无穷但期望有限的分布。其严格证明属于 C 级，\textbf{本阶段不要求复现}；必须准确记住条件和结论，并会逐项验证。 \end{note} \subsection{两种大数定律的辨析} \begin{center} \begin{tabular}{>{\bfseries}p{2.8cm}p{5.6cm}p{5.6cm}} \toprule 比较项 & 切比雪夫大数定律 & 辛钦大数定律 \\ \midrule 变量关系 & 两两不相关即可 & 独立同分布 \\ 分布要求 & 可以不同分布 & 必须同分布 \\ 矩条件 & 方差存在且一致有界 & 只要求绝对一阶矩有限 \\ 结论 & 平均值减其期望依概率趋于零 & 平均值依概率趋于共同期望 \\ 证明要求 & 理解切比雪夫不等式推导 & 严格证明本阶段不要求复现 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \begin{note}[方法选择] 若题目直接给出“独立同分布”且只需研究算术平均，通常优先用辛钦大数定律，因为只需检查期望存在。若变量不同分布，但能验证两两不相关且方差一致有界，则使用切比雪夫大数定律。 \end{note} \subsection{伯努利大数定律与频率稳定性} \begin{theorem}[伯努利大数定律] 在 $n$ 次独立重复试验中，事件 $A$ 每次发生的概率为 $p$，发生次数为 $N_n$。则对任意 $\varepsilon>0$， \[ \lim_{n\to\infty} P\left(\left|\frac{N_n}{n}-p\right|<\varepsilon\right)=1, \] 即 \[ \frac{N_n}{n}\xrightarrow{P}p. \] \end{theorem} \begin{note} 伯努利大数定律把第一章“频率稳定于概率”的直观说法写成了严格的概率极限。它不保证试验次数每增加一次，频率就更接近 $p$；它保证偏离 $p$ 超过固定误差的概率趋于零。 \end{note} \begin{proof} \textbf{证明目标：}说明事件频率依概率收敛于事件概率。 \textbf{出发点：}把每次试验是否发生 $A$ 写成 $0$--$1$ 随机变量，并使用辛钦大数定律。 \textbf{关键转换：}令 \[ I_i=\begin{cases} 1,&\text{第 $i$ 次试验中 $A$ 发生},\\ 0,&\text{第 $i$ 次试验中 $A$ 不发生}. \end{cases} \] 则频率就是这些指示变量的算术平均。 \textbf{正式推导：} $I_1,I_2,\ldots$ 独立同分布，且 \[ E(I_i)=p, \qquad N_n=\sum_{i=1}^nI_i. \] 由辛钦大数定律， \[ \frac{N_n}{n} =\frac1n\sum_{i=1}^nI_i \xrightarrow{P}p. \] \textbf{证明小结：}频率稳定性本质上是 $0$--$1$ 随机变量样本均值的稳定性。可复用的方法是先把“次数”写成指示变量之和，再调用大数定律。 \end{proof} \subsection{用大数定律处理算术平均} \begin{longexample}[平方的算术平均] 设 $X_1,X_2,\ldots$ 相互独立，且均服从参数为 $2$ 的指数分布。求 \[ Y_n=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i^2 \] 的依概率极限。 \tcblower \textbf{方法选择：}研究的是 $X_i^2$ 的算术平均，所以应验证 $X_i^2$，而不是只验证 $X_i$ 的条件。 因为 $X_i$ 独立同分布，所以 $X_i^2$ 也独立同分布。又由指数分布的数字特征， \[ E(X_i)=\frac12, \qquad D(X_i)=\frac14, \] 故 \[ E(X_i^2)=D(X_i)+[E(X_i)]^2 =\frac14+\frac14=\frac12<\infty. \] 由辛钦大数定律， \[ \frac1n\sum_{i=1}^nX_i^2 \xrightarrow{P}\frac12. \] \textbf{关键转折：}“求谁的算术平均，就验证谁的条件”。这里的基本变量是 $X_i^2$。 \end{longexample} \begin{longexample}[由密度确定依概率极限] 设 $X_1,X_2,\ldots$ 独立同分布，密度为 \[ f(x)=\begin{cases} xe^{-x^2/2},&x\ge0,\\ 0,&x<0. \end{cases} \] 判断是否存在常数 $a$，使 \[ \frac1n\sum_{i=1}^nX_i^2\xrightarrow{P}a, \] 若存在，求 $a$。 \tcblower 仍然验证 $X_i^2$。它们独立同分布，且 \[ E(X_i^2) =\int_0^{+\infty}x^2\cdot xe^{-x^2/2}\,\mathrm dx. \] 令 $u=x^2/2$，则 $x\,\mathrm dx=\mathrm du$、$x^2=2u$，故 \[ E(X_i^2)=\int_0^{+\infty}2ue^{-u}\,\mathrm du=2. \] 由辛钦大数定律， \[ \frac1n\sum_{i=1}^nX_i^2\xrightarrow{P}2. \] 因此所求常数存在，且 $a=2$。 \textbf{结果检查：}题目问“是否存在”，不能只写数值；必须先验证定律条件，再明确回答存在性。 \end{longexample} \subsection*{小结} 大数定律研究算术平均的稳定性。切比雪夫大数定律适合两两不相关、方差一致有界的序列；辛钦大数定律适合独立同分布且绝对一阶矩有限的序列；伯努利大数定律说明频率依概率收敛于概率。做题时先识别被平均的变量，再逐项验证相应条件。 \section{独立同分布中心极限定理} \subsection{从“稳定值”走向“近似分布”} 大数定律告诉我们 $\overline X_n$ 会靠近 $\mu$，但没有描述它在 $\mu$ 附近怎样波动。中心极限定理进一步回答：经过适当中心化和标准化后，这种波动的分布趋近标准正态分布。 \begin{center} \begin{tabular}{>{\bfseries}p{2.8cm}p{5.7cm}p{5.5cm}} \toprule 比较项 & 大数定律 & 中心极限定理 \\ \midrule 主要对象 & 算术平均 & 和或算术平均的标准化形式 \\ 回答问题 & 最终稳定到哪个常数 & 最终近似哪种分布 \\ 典型结论 & $\overline X_n\xrightarrow{P}\mu$ & 标准化后分布趋近 $N(0,1)$ \\ 主要用途 & 解释频率、样本均值的稳定性 & 近似计算大量求和或平均的概率 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \subsection{列维--林德伯格中心极限定理} \begin{theorem}[独立同分布中心极限定理] 设 $X_1,X_2,\ldots$ 独立同分布，且 \[ E(X_i)=\mu, \qquad D(X_i)=\sigma^2>0. \] 记 \[ S_n=\sum_{i=1}^nX_i. \] 则对任意实数 $x$， \[ \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\le x \right) =\Phi(x), \] 其中 \[ \Phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x}e^{-t^2/2}\,\mathrm dt \] 是标准正态分布函数。 \end{theorem} 定理常写成近似形式：当 $n$ 足够大时， \[ S_n\mathrel{\dot\sim}N(n\mu,n\sigma^2), \] 或者 \[ \frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt n} \mathrel{\dot\sim}N(0,1). \] 这里的 $\mathrel{\dot\sim}$ 表示“近似服从”，不是精确分布相等。 \begin{note}[为什么要中心化和标准化] 和 $S_n$ 的期望为 $n\mu$，方差为 $n\sigma^2$。减去 $n\mu$ 是把中心移到 $0$；除以 $\sigma\sqrt n$ 是把方差缩放到 $1$。于是不同 $n$、不同量纲的问题都被转化为同一个标准正态分布。 中心极限定理的严格证明通常使用特征函数、矩母函数或高等分析工具，属于 C 级，\textbf{本阶段不要求复现}。现阶段必须会准确检查条件、完成标准化并计算近似概率。 \end{note} \subsection{样本均值形式} 由 \[ \overline X_n=\frac{S_n}{n} \] 可得 \[ E(\overline X_n)=\mu, \qquad D(\overline X_n)=\frac{\sigma^2}{n}. \] 因此当 $n$ 足够大时， \[ \overline X_n\mathrel{\dot\sim} N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right), \] 且 \[ \frac{\overline X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n} \mathrel{\dot\sim}N(0,1). \] \begin{note} 若原变量本身服从正态分布，则独立正态变量的和与平均值\textbf{精确}服从正态分布，不需要“大样本近似”；若原分布不是正态，上述正态结论来自中心极限定理，只是近似。 \end{note} \subsection{中心极限定理的解题流程} 面对应用题，可按以下固定顺序处理： \begin{enumerate} \item \textbf{识别对象：}题目是否研究大量个体的和或平均值； \item \textbf{设随机变量：}对谁求和，就把第 $i$ 个个体对应的量设为 $X_i$； \item \textbf{检查条件：}说明 $X_i$ 独立同分布，且期望、正方差存在； \item \textbf{确定参数：}求 $S_n$ 或 $\overline X_n$ 的期望与方差； \item \textbf{标准化：}减期望、除标准差； \item \textbf{查表计算：}转化为 $\Phi(x)$，并利用 $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$。 \end{enumerate} \begin{longexample}[样本平均重量的近似概率] 某批棉花每包重量的期望为 $100$ kg，标准差为 $5$ kg。独立抽取 $100$ 包，求样本平均重量小于 $99.5$ kg 的近似概率。已知 $\Phi(1)=0.8413$。 \tcblower 设第 $i$ 包棉花的重量为 $X_i$ kg，$i=1,2,\ldots,100$。则 \[ E(X_i)=100, \qquad D(X_i)=25. \] 由中心极限定理， \[ \overline X\mathrel{\dot\sim} N\left(100,\frac{25}{100}\right). \] 所以 \[ \begin{aligned} P(\overline X<99.5) &\approx P\left( \frac{\overline X-100}{5/\sqrt{100}} <\frac{99.5-100}{0.5} \right)\\ &=\Phi(-1) =1-\Phi(1) =0.1587. \end{aligned} \] \textbf{方法选择：}题目研究 $100$ 个独立重量的平均值，且只给出总体期望和方差，正是中心极限定理的使用场景。 \textbf{结果检查：}阈值 $99.5$ 比均值低一个“样本均值标准差”，左尾概率应小于 $0.5$，结果合理。题目中的总体包数若不影响抽样模型，就是干扰信息。 \end{longexample} \begin{longexample}[寿命总和的近似概率] 某种电子设备的寿命服从均值为 $100$ 小时的指数分布。随机抽取 $16$ 台，寿命相互独立。求寿命总和超过 $1920$ 小时的近似概率。已知 $\Phi(0.8)=0.7881$。 \tcblower 设第 $i$ 台设备寿命为 $X_i$。指数分布的标准差等于均值，因此 \[ E(X_i)=100, \qquad D(X_i)=100^2. \] 令 $S_{16}=\sum_{i=1}^{16}X_i$。由中心极限定理， \[ S_{16}\mathrel{\dot\sim} N(16\times100,16\times100^2). \] 于是 \[ \begin{aligned} P(S_{16}>1920) &\approx P\left( \frac{S_{16}-1600}{400} >\frac{1920-1600}{400} \right)\\ &=1-\Phi(0.8) =0.2119. \end{aligned} \] \textbf{近似性提醒：}$n=16$ 不算很大，因此结果只是一种题设要求下的近似。样本较小时，中心极限定理的精度取决于原分布偏斜程度；若题目能提供总和的精确分布，应优先使用精确分布。 \end{longexample} \subsection*{小结} 独立同分布中心极限定理说明：有限期望、正方差条件下，大量随机变量之和经过“减 $n\mu$、除 $\sigma\sqrt n$”后趋近标准正态分布。求平均值时相应地“减 $\mu$、除 $\sigma/\sqrt n$”。应用中先识别大量求和或平均，再设变量、验条件、定参数、标准化。 \section{二项分布的正态近似} \subsection{棣莫弗--拉普拉斯定理} 二项随机变量本身就是 $n$ 个独立 $0$--$1$ 随机变量之和，因此中心极限定理可直接给出它的正态近似。 \begin{theorem}[棣莫弗--拉普拉斯定理] 设 $X_n\sim B(n,p)$，其中 $0{\bfseries}p{3cm}p{5.4cm}p{5.5cm}} \toprule 近似方法 & 典型条件 & 近似分布 \\ \midrule 泊松近似 & $n$ 大、$p$ 小、$np$ 适中 & $P(np)$ \\ 正态近似 & $np$ 与 $n(1-p)$ 都不小 & $N(np,np(1-p))$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \begin{note}[连续性修正] 二项分布是离散型，正态分布是连续型。若课程要求提高近似精度，可把整数边界向外移动 $0.5$： \[ P(X\ge k)\approx P(Y>k-0.5), \qquad P(X\le k)\approx P(Y{\raggedright\arraybackslash\bfseries}p{3cm}p{7cm}p{4cm}} \toprule 结论 & 核心形式 & 使用前检查 \\ \midrule 依概率收敛 & $P(|X_n-a|\ge\varepsilon)\to0$ & 对任意 $\varepsilon>0$ \\ 切比雪夫大数定律 & 平均值减其期望 $\xrightarrow{P}0$ & 两两不相关、方差存在且一致有界 \\ 辛钦大数定律 & $\overline X_n\xrightarrow{P}\mu$ & 独立同分布、$E|X_1|<\infty$ \\ 伯努利大数定律 & $N_n/n\xrightarrow{P}p$ & 独立重复试验、成功概率固定 \\ 独立同分布中心极限定理 & $(S_n-n\mu)/(\sigma\sqrt n)$ 近似 $N(0,1)$ & 独立同分布、有限期望、正方差 \\ 棣莫弗--拉普拉斯 & $(X-np)/\sqrt{np(1-p)}$ 近似 $N(0,1)$ & $X\sim B(n,p)$，$n$ 足够大 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \subsection*{方法选择} \begin{enumerate} \item \textbf{看到依概率极限：}先判断是否为算术平均，再验证大数定律条件。 \item \textbf{看到独立同分布平均：}优先尝试辛钦大数定律，只需再检查被平均变量的期望存在。 \item \textbf{看到不同分布序列：}若两两不相关且方差一致有界，使用切比雪夫大数定律。 \item \textbf{看到频率：}把发生次数写成指示变量之和，调用伯努利大数定律。 \item \textbf{看到大量和或平均的概率：}设第 $i$ 个个体为 $X_i$，验中心极限定理条件并标准化。 \item \textbf{看到大样本二项分布：}检查 $np$ 与 $n(1-p)$，再用正态近似；按课程口径决定是否连续性修正。 \end{enumerate} \subsection*{重点辨析} \begin{center} \begin{tabular}{>{\raggedright\arraybackslash\bfseries}p{3cm}>{\raggedright\arraybackslash}p{5.4cm}>{\raggedright\arraybackslash}p{5.4cm}} \toprule 容易混淆的概念 & 正确理解 & 常见误判 \\ \midrule 依概率收敛与普通收敛 & 偏离概率趋于零，仍允许偶然偏离 & 认为从某项起每次都接近极限 \\ 大数定律与中心极限定理 & 前者给稳定值，后者给近似分布 & 看到“大量”就随意套其中一个 \\ 切比雪夫与辛钦 & 前者弱化独立同分布，后者弱化方差要求 & 混记三个条件和两个条件 \\ 原变量与被平均变量 & 平均 $g(X_i)$ 就验证 $g(X_i)$ 的条件 & 只验证 $X_i$，不检查变换后的矩 \\ 精确正态与近似正态 & 正态总体的线性组合精确正态；一般总体靠中心极限定理近似 & 把近似号写成严格分布相等 \\ 标准差与方差 & 标准化必须除标准差 & 直接除以 $n\sigma^2$ 或 $\sigma^2/n$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \subsection*{易错点清单} \begin{itemize} \item 依概率收敛定义漏写“对任意 $\varepsilon>0$”； \item 把“偏离概率趋于零”写成“随机变量数值必然趋于零”； \item 使用大数定律时不验证独立性、同分布性或矩条件； \item 研究 $X_i^2$、$g(X_i)$ 的平均，却只检查 $X_i$ 的条件； \item 切比雪夫大数定律忘记方差一致有界； \item 中心极限定理把和的方差写成 $n^2\sigma^2$； \item 平均值标准化时把标准差写成 $\sigma/n$，正确值应为 $\sigma/\sqrt n$； \item 把中心极限定理的正态近似当成精确分布； \item 二项分布正态近似时忘记 $np(1-p)$ 是方差，标准化分母还要开平方； \item 左尾、右尾转换时误用 $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$。 \end{itemize} \subsection*{证明掌握清单} \begin{itemize} \item \textbf{A级：}能准确写出切比雪夫大数定律、辛钦大数定律的条件与结论；能验证条件并完成依概率收敛或中心极限定理计算。 \item \textbf{B级：}能解释切比雪夫大数定律怎样由切比雪夫不等式推出；能说明大数定律为何支持频率稳定性和用样本矩估计总体矩；能解释中心化与标准化的作用。 \item \textbf{C级：}知道辛钦大数定律、独立同分布中心极限定理和棣莫弗--拉普拉斯定理的严格证明结论与用途；使用特征函数、矩母函数或高等分析的证明本阶段不要求复现。 \end{itemize} \subsection*{自测题} \begin{exercise} 设 \[ P(X_n=1)=1-\frac1{n^2}, \qquad P(X_n=n)=\frac1{n^2}. \] 从定义证明 $X_n\xrightarrow{P}1$，并判断能否由连续映射性质推出 $X_n^2\xrightarrow{P}1$。 \end{exercise} \begin{exercise} 设 $X_1,X_2,\ldots$ 独立同分布，$E(X_1)=2$，$D(X_1)=3$。分别写出 \[ \frac1n\sum_{i=1}^nX_i \] 的依概率极限，以及其大样本近似正态分布。说明两个结论分别来自哪个定理。 \end{exercise} \begin{exercise} 设 $X_1,X_2,\ldots$ 独立同分布，$E(X_1^4)<\infty$。证明 \[ \frac1n\sum_{i=1}^nX_i^4 \xrightarrow{P}E(X_1^4), \] 并明确指出应验证哪个随机变量序列的条件。 \end{exercise} \begin{exercise} 某商品单件重量的期望为 $500$ g，标准差为 $20$ g。独立抽取 $100$ 件，利用中心极限定理表示样本平均重量落在 $496$ g 到 $504$ g 之间的近似概率，并把答案写成 $\Phi$ 的形式。 \end{exercise} \begin{exercise} 设 $X\sim B(400,0.02)$。比较泊松近似与正态近似的适用条件，并判断本题优先选择哪一种近似。若改为 $X\sim B(400,0.5)$，结论如何变化？ \end{exercise} \begin{note}[章末自测清单] 合上讲义后，检查自己能否做到： \begin{enumerate} \item 用两种等价形式写出依概率收敛定义； \item 不看讲义写出切比雪夫与辛钦大数定律的条件和结论； \item 说明“频率稳定于概率”的严格含义； \item 面对 $g(X_i)$ 的平均，正确验证 $g(X_i)$ 的条件； \item 区分大数定律与中心极限定理分别回答什么问题； \item 写出和与平均值的中心极限定理标准化式； \item 识别二项分布正态近似并说明连续性修正的作用。 \end{enumerate} 若有任一项不能独立完成，应回到相应小节重做例题，而不是只背最终公式。 \end{note} \end{document}