% !TEX root = ../概率论讲义.tex \documentclass[../概率论讲义.tex]{subfiles} \begin{document} % 主资料：参考资料/网课讲义/第七章 点估计与估计量的评价.pdf % 字幕范围：P60--P62 \setcounter{chapter}{6} \chapter{点估计与估计量的评价} \section*{本章导读} 上一章解决了“怎样从总体取得样本、统计量具有怎样的分布”。本章进一步追问：总体分布的形式已知，但参数未知时，能否用样本给参数一个具体的估计？ 本章分成两条主线： \[ \boxed{\text{怎样估：矩估计、最大似然估计}} \qquad \boxed{\text{估得怎样：无偏性、有效性、一致性}}. \] 矩估计利用“样本矩接近总体矩”，最大似然估计利用“已经出现的数据在所选参数下应尽可能容易出现”。二者可能给出相同结果，也可能不同；得到估计量后，还必须评价其质量。 \section{点估计的基本概念} \subsection{从未知参数到样本函数} 设总体 $X$ 的分布形式已知，但含未知参数 $\theta$；$X_1,\ldots,X_n$ 是来自该总体的简单随机样本。我们的目标是构造一个不含未知参数的统计量，用它近似 $\theta$。 \begin{definition}[点估计、估计量与估计值] 若统计量 \[ \widehat\theta=\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n) \] 被用来估计未知参数 $\theta$，则称 $\widehat\theta$ 为 $\theta$ 的\textbf{估计量}。观测到样本值 $x_1,\ldots,x_n$ 后，所得数值 \[ \widehat\theta(x_1,\ldots,x_n) \] 称为 $\theta$ 的\textbf{估计值}。直接用一个数估计参数的方法称为\textbf{点估计}。 \end{definition} \begin{center} \begin{tabular}{lll} \toprule 对象 & 典型记号 & 性质 \\ \midrule 未知参数 & $\theta$ & 固定但未知，不是随机变量 \\ 估计量 & $\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ & 随样本改变，是统计量、随机变量 \\ 估计值 & $\widehat\theta(x_1,\ldots,x_n)$ & 代入数据后得到的确定数值 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} 帽子“$\widehat{phantom\theta}$”表示估计，不表示它一定等于真实参数。点估计只给出一个数，不直接说明误差可能有多大；下一章的区间估计将补充不确定性范围。 \subsection*{小结} 点估计的目标是把未知参数表示成样本的函数。书写时必须区分固定的未知参数、随机的估计量和观测后的估计值；后续评价的对象是估计量，而不只是某次得到的数字。 \section{矩估计法} \subsection{思想来源：样本矩逼近总体矩} 设总体 $k$ 阶原点矩存在，记 \[ \mu_k'=E(X^k), \qquad A_k=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i^k. \] 由于 $X_1^k,\ldots,X_n^k$ 独立同分布，辛钦大数定律给出 \[ A_k\xrightarrow{P}\mu_k'. \] 因此样本量较大时，样本矩通常接近对应总体矩。矩估计法把这种“接近”直接写成方程。 \begin{definition}[矩估计法] 设总体分布含 $k$ 个未知参数 $\theta_1,\ldots,\theta_k$。选取 $k$ 个存在的总体矩，并令它们等于对应样本矩，得到关于未知参数的方程组。解出 \[ \widehat\theta_j=widehat\theta_j(X_1,\ldots,X_n), \qquad j=1,\ldots,k, \] 称为各参数的\textbf{矩估计量}。 \end{definition} 最常用的原点矩方程组为 \[ \frac1n\sum_{i=1}^nX_i^r=E(X^r), \qquad r=1,\ldots,k. \] 若参数本身就是期望或方差，直接用 \[ \overline X\approx E(X), \qquad \frac1n\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2\approx\operatorname{Var}(X) \] 往往更简洁。注意矩估计方差时使用的是分母为 $n$ 的二阶样本中心矩，不是分母为 $n-1$ 的无偏样本方差。 \begin{note}[矩估计的统一步骤] \begin{enumerate} \item 数清未知参数个数，确定需要几个独立方程； \item 计算相应总体矩，并写成参数的函数； \item 令总体矩等于样本矩； \item 解方程或方程组，并确认结果只含样本和已知量。 \end{enumerate} 使用前还要检查所选总体矩是否存在。矩估计的合理性来自大数定律，但不意味着它天然无偏或最有效。 \end{note} \subsection{一个参数的矩估计} \begin{example}[连续型总体的矩估计与一致性] 总体密度为 \[ f(x;\theta)= \begin{cases} \dfrac{\theta^2}{x^3}e^{-\theta/x},&x>0,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases} \qquad \theta>0. \] 求 $\theta$ 的矩估计量，并证明它具有一致性。 \tcblower 只有一个未知参数，先计算一阶总体矩。令 $u=\theta/x$，可得 \[ E(X)=\int_0^\infty x\frac{\theta^2}{x^3}e^{-\theta/x}\,\mathrm dx =\theta. \] 令 $\overline X=E(X)$，得到 \[ \widehat\theta_M=\overline X. \] 由于 $X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布且 $E(X_i)=\theta$ 存在，辛钦大数定律给出 \[ \widehat\theta_M=\overline X\xrightarrow{P}\theta. \] 故 $\widehat\theta_M$ 是 $\theta$ 的一致估计量。 \textbf{方法选择：}一个参数优先尝试一阶矩方程。\textbf{结果检查：}$\theta$ 与 $X$ 具有相同量纲，$\overline X$ 的量纲也相同。 \end{example} \begin{example}[从矩估计量到矩估计值] 设 $0<\theta<1/2$，总体分布为 \[ \begin{array}{c|cccc} X&0&1&2&3\\ \hline P&\theta^2&2\theta(1-\theta)&\theta^2&1-2\theta \end{array}. \] 样本值为 $3,1,3,0,3,1,2,3$，求 $\theta$ 的矩估计值。 \tcblower 总体期望为 \[ E(X)=2\theta(1-\theta)+2\theta^2+3(1-2\theta)=3-4\theta. \] 令 $\overline X=3-4\theta$，得矩估计量 \[ \widehat\theta_M=\frac{3-\overline X}{4}. \] 本组数据的样本均值为 $\overline x=16/8=2$，所以矩估计值为 \[ \widehat\theta_M=\frac{3-2}{4}=\frac14. \] \textbf{结果检查：}$1/4$ 落在参数空间 $(0,1/2)$ 内。 \end{example} \subsection{两个参数的矩估计} \begin{example}[正态总体两个未知参数] 设 $X_1,\ldots,X_n$ 来自 $N(\mu,\sigma^2)$，$\mu,\sigma^2$ 均未知。求二者的矩估计量。 \tcblower 可以令前两个原点矩相等： \[ \overline X=E(X)=\mu, \qquad \frac1n\sum_{i=1}^nX_i^2=E(X^2)=\sigma^2+\mu^2. \] 解得 \[ \widehat\mu_M=\overline X, \qquad \widehat{\sigma^2}_M =\frac1n\sum_{i=1}^nX_i^2-\overline X^{,2} =\frac1n\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2. \] 也可直接用样本一阶原点矩估计期望、样本二阶中心矩估计方差，结果相同。 \textbf{易错提醒：}这里 $\widehat{\sigma^2}_M$ 的分母为 $n$，它一般不是无偏估计；矩估计法追求的是矩方程匹配，不自动保证无偏性。 \end{example} \subsection*{小结} 矩估计把样本矩与总体矩对应相等，再解参数方程。一个参数通常先用 $\overline X=E(X)$；多个参数需要同样多个独立方程。使用时先检查矩存在，再检查解是否只含样本量，并区分二阶样本中心矩与无偏样本方差。 \section{最大似然估计法} \subsection{核心思想：让已观测数据尽可能“像是会出现的”} 固定一组已经观测到的样本值 $x_1,\ldots,x_n$。不同参数会给这组数据不同的可能程度。最大似然法选择使该组数据的似然函数最大的参数。 \begin{definition}[似然函数] 若总体为离散型，概率质量函数为 $p(x;\theta)$，则 \[ L(\theta)=\prod_{i=1}^np(x_i;\theta). \] 若总体为连续型，密度为 $f(x;\theta)$，则 \[ L(\theta)=\prod_{i=1}^nf(x_i;\theta). \] $L(\theta)$ 称为样本观测值的\textbf{似然函数}。 \end{definition} 连续型情形中，单点概率为零，所以 $L(\theta)$ 不是“恰好取这些点的概率”；密度乘积反映的是这些观测点附近出现的相对可能程度。似然函数中数据已固定，变量是参数 $\theta$。 \begin{definition}[最大似然估计] 若参数值 $\widehat\theta$ 使 \[ L(\widehat\theta)=\max_{\theta\in\Theta}L(\theta), \] 则称 $\widehat\theta$ 为 $\theta$ 的\textbf{最大似然估计值}。把小写样本值换回随机样本，所得统计量称为\textbf{最大似然估计量}，常记为 $\widehat\theta_L$。 \end{definition} 因对数函数严格递增，最大化 $L(\theta)$ 与最大化对数似然 \[ \ell(\theta)=\ln L(\theta) \] 等价。取对数可把连乘变成求和，便于求导。 \begin{note}[最大似然的标准流程] \begin{enumerate} \item 写清参数空间与样本必须满足的取值条件； \item 构造似然函数 $L(\theta)$； \item 取对数得到 $\ell(\theta)$； \item 求驻点，并结合参数空间、二阶导数或单调性判断最大值； \item 把样本值 $x_i$ 换成随机样本 $X_i$，写出估计量。 \end{enumerate} 若支持集依赖参数，最大值可能出现在边界，不能只会令导数为零。 \end{note} \subsection{连续型总体：对数求导} \begin{example}[连续型总体的最大似然估计] 仍设 \[ f(x;\theta)=\frac{\theta^2}{x^3}e^{-\theta/x}, \qquad x>0,quad \theta>0. \] 求 $\theta$ 的最大似然估计量。 \tcblower 对一组正的样本值 $x_1,\ldots,x_n$， \[ L(\theta) =\prod_{i=1}^n\frac{\theta^2}{x_i^3}e^{-\theta/x_i} =\frac{\theta^{2n}}{\prod_{i=1}^nx_i^3} \exp\!\left(-\theta\sum_{i=1}^n\frac1{x_i}\right). \] 取对数： \[ \ell(\theta)=2n\ln\theta-3\sum_{i=1}^n\ln x_i -\theta\sum_{i=1}^n\frac1{x_i}. \] 令一阶导数为零， \[ \ell'(\theta)=\frac{2n}{\theta}-\sum_{i=1}^n\frac1{x_i}=0, \] 得到 \[ \widehat\theta_L=\frac{2n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n1/X_i}. \] 并且 $\ell''(\theta)=-2n/\theta^2<0$，所以该驻点确为唯一最大值点。 \textbf{关键转折：}矩估计计算 $E(X)$；最大似然估计不积分，而是把密度值连乘后对参数求极值。 \end{example} \subsection{离散型总体：按取值频数归类} \begin{example}[同一总体的矩估计与最大似然估计可以不同] 对前述分布 \[ P(X=0)=\theta^2,quad P(X=1)=2\theta(1-\theta), \] \[ P(X=2)=\theta^2,quad P(X=3)=1-2\theta,qquad 0<\theta<\frac12, \] 给定样本值 $3,1,3,0,3,1,2,3$，求最大似然估计值。 \tcblower 样本中 $0,1,2,3$ 的频数依次为 $1,2,1,4$，故 \[ L(\theta) =(\theta^2)[2\theta(1-\theta)]^2(\theta^2)(1-2\theta)^4 =4\theta^6(1-\theta)^2(1-2\theta)^4. \] 于是 \[ \ell'(\theta) =\frac6\theta-\frac2{1-\theta}-\frac8{1-2\theta}=0. \] 解得 \[ \theta=\frac{7\pm\sqrt{13}}{12}. \] 其中带加号的根不在 $(0,1/2)$ 内，故 \[ \widehat\theta_L=\frac{7-\sqrt{13}}{12}. \] \textbf{结果检查：}必须用参数空间筛根。本题矩估计值为 $1/4$，与最大似然估计值不同，这不表示其中一个计算错误，而是两种原则不同。 \end{example} \subsection{分段密度与隐藏约束} \begin{example}[先用密度规范性减少参数] 总体密度为 \[ f(x;\alpha,\beta)= \begin{cases} \alpha,&-1\theta,\\ 0,&x\le\theta. \end{cases} \] 求 $\theta$ 的最大似然估计量。 \tcblower 记 $x_{(1)}=\min(x_1,\ldots,x_n)$。只有当 $\theta\theta$ 时，$\theta=x_{(1)}$ 处似然为零，严格地说只有当 $\theta\uparrow x_{(1)}$ 时取得上确界；若支持集写成 $x\ge\theta$，最大值就在边界取得。考试按课程结论写 $X_{(1)}$，同时理解这个边界细节。 \end{example} \subsection{两个未知参数与不变性} \begin{theorem}[正态总体的最大似然估计] 设 $X_1,\ldots,X_n$ 来自 $N(\mu,\sigma^2)$，且 $\mu,\sigma^2$ 均未知，则 \[ \widehat\mu_L=\overline X, \qquad \widehat{\sigma^2}_L =\frac1n\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2. \] \end{theorem} \begin{proof} \textbf{证明目标：}对正态似然的两个未知参数分别求偏导并解方程组。 \textbf{出发点：}固定样本值后， \[ L(\mu,\sigma^2) =(2\pi\sigma^2)^{-n/2} \exp\!\left[-\frac1{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\right]. \] \textbf{关键转换：}取对数，把 $\sigma^2$ 作为一个整体求偏导。 \[ \ell(\mu,\sigma^2) =-\frac n2\ln(2\pi)-\frac n2\ln\sigma^2 -\frac1{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2. \] 似然方程为 \begin{align*} \frac{\partial\ell}{\partial\mu} &=\frac1{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)=0,\\ \frac{\partial\ell}{\partial\sigma^2} &=-\frac n{2\sigma^2} +\frac1{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2=0. \end{align*} 先由第一式得 $\widehat\mu=\overline x$，再代入第二式得 \[ \widehat{\sigma^2}=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2. \] 换回随机样本即得结论。 \textbf{证明小结：}两个参数对应两个偏导方程，通常先解较简单的一个再回代。方差的最大似然估计分母为 $n$，与矩估计相同，但不是无偏样本方差 $S^2$。 \end{proof} \begin{theorem}[最大似然估计的不变性] 若 $\widehat\theta_L$ 是 $\theta$ 的最大似然估计，且 $g$ 为一一函数，则 $g(\widehat\theta_L)$ 是 $g(\theta)$ 的最大似然估计。 \end{theorem} 例如，若 $\widehat\theta_L=\overline X$，则 $3\overline X+1$ 是 $3\theta+1$ 的最大似然估计。矩估计一般没有这样的不变性，不能不经重新列矩方程就直接套用。 \subsection*{小结} 最大似然估计固定观测数据，把似然看成参数的函数并求最大值。常规题用“写似然—取对数—求导—筛选参数空间—换回大写样本”；分段密度要按频数归类，支持集依赖参数时要检查单调性和边界，不能只寻找驻点。 \section{估计量的评价标准} 得到估计量并不代表估计质量已经足够好。本课程用无偏性、有效性和一致性从三个角度评价。 \subsection{无偏性：长期平均不系统偏高或偏低} \begin{definition}[无偏估计] 若对任意 $\theta\in\Theta$，估计量 $\widehat\theta$ 的期望存在且 \[ E_\theta(\widehat\theta)=\theta, \] 则称 $\widehat\theta$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。 \end{definition} 无偏性描述重复抽样后估计量的平均位置，不保证某一次估计一定接近真值，也不保证方差小。 \begin{example}[证明矩估计量无偏] 总体密度为 \[ f(x;\theta)= \begin{cases} \dfrac{6x}{\theta^3}(\theta-x),&00. \] 求 $\theta$ 的矩估计量，并判断其是否无偏。 \tcblower 计算总体期望： \[ E(X)=\int_0^\theta x\frac{6x}{\theta^3}(\theta-x)\,\mathrm dx =\frac\theta2. \] 令 $\overline X=\theta/2$，得 \[ \widehat\theta=2\overline X. \] 于是 \[ E(\widehat\theta)=2E(\overline X)=2E(X)=\theta. \] 所以 $2\overline X$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。 \textbf{证明模式：}先明确待证等式 $E(\widehat\theta)=\theta$，再利用样本均值期望等于总体期望；不要把“由矩估计得到”直接当成无偏的理由。 \end{example} \subsection{有效性：同为无偏时比较波动} \begin{definition}[有效性比较] 设 $\widehat\theta_1,\widehat\theta_2$ 都是 $\theta$ 的无偏估计量，方差均存在。若 \[ \operatorname{Var}(\widehat\theta_1) <\operatorname{Var}(\widehat\theta_2), \] 则称 $\widehat\theta_1$ 比 $\widehat\theta_2$ 更有效。 \end{definition} \begin{example}[三个无偏估计量的有效性比较] 设 $X_1,X_2,X_3$ 是来自期望为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$ 的总体的简单随机样本。比较 \[ \widehat\mu_1=\overline X, \quad \widehat\mu_2=\frac12X_1+\frac13X_2+\frac16X_3, \quad \widehat\mu_3=X_1 \] 的有效性。 \tcblower 三组系数之和均为 $1$，故三者期望均为 $\mu$，都是无偏估计。利用样本独立性， \begin{align*} \operatorname{Var}(\widehat\mu_1)&=\frac{\sigma^2}{3},\\ \operatorname{Var}(\widehat\mu_2) &=\left(\frac14+\frac19+\frac1{36}\right)\sigma^2 =\frac7{18}\sigma^2,\\ \operatorname{Var}(\widehat\mu_3)&=\sigma^2. \end{align*} 因为 \[ \frac13<\frac7{18}<1, \] 所以 $\widehat\mu_1$ 最有效，$\widehat\mu_3$ 最不有效。 \textbf{关键条件：}先确认无偏，再比较方差；线性组合的方差能写成系数平方和，是因为样本相互独立。 \end{example} \subsection{一致性：样本增多时逼近真值} \begin{definition}[一致估计量] 若对任意 $\theta\in\Theta$，当 $n\to\infty$ 时 \[ \widehat\theta_n\xrightarrow{P}\theta, \] 则称 $\widehat\theta_n$ 是 $\theta$ 的\textbf{一致估计量}，也称相合估计量。 \end{definition} \begin{proof} \textbf{证明目标：}说明只要总体期望 $E(X)=\mu$ 存在，样本均值就是 $\mu$ 的一致估计量。 \textbf{出发点：}简单随机样本 $X_1,X_2,\ldots$ 独立同分布，且共同期望为 $\mu$。 \textbf{关键转换：}把 $\overline X_n$ 识别为独立同分布随机变量的算术平均。 由辛钦大数定律， \[ \overline X_n=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i\xrightarrow{P}E(X)=\mu. \] 因此 $\overline X_n$ 是 $\mu$ 的一致估计量。 \textbf{证明小结：}证明一致性不是计算某个固定 $n$ 下的期望，而是研究 $n\to\infty$ 的概率极限。遇到样本均值或样本矩，应优先检查大数定律条件。 \end{proof} \begin{center} \begin{tabular}{p{0.18\textwidth}p{0.32\textwidth}p{0.39\textwidth}} \toprule 标准 & 数学条件 & 回答的问题 \\ \midrule 无偏性 & $E(\widehat\theta)=\theta$ & 重复抽样的平均位置是否正确 \\ 有效性 & 无偏前提下方差更小 & 哪个无偏估计量波动更小 \\ 一致性 & $\widehat\theta_n\xrightarrow{P}\theta$ & 样本量增大后是否逼近真值 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} 这三种标准不能互相替代：无偏估计量可能方差很大；有偏估计量也可能一致；有效性比较在本章定义下以双方无偏为前提。 \subsection*{小结} 无偏性看期望，有效性在无偏前提下看方差，一致性看样本量趋于无穷时的依概率收敛。解题时先写对应定义式，再选择期望运算、方差比较或大数定律，不能只凭“看起来接近”下结论。 \section*{本章总结} \subsection*{一、知识结构} \[ \boxed{\text{未知参数}} \longrightarrow \begin{cases} \text{样本矩匹配总体矩：矩估计},\\ \text{最大化观测数据似然：最大似然估计} \end{cases} \longrightarrow \boxed{\text{无偏、有效、一致}}. \] \subsection*{二、两种点估计方法对比} \begin{center} \begin{tabular}{p{0.18\textwidth}p{0.34\textwidth}p{0.36\textwidth}} \toprule 比较项 & 矩估计 & 最大似然估计 \\ \midrule 核心依据 & 样本矩逼近总体矩 & 已观测样本的似然应尽可能大 \\ 主要计算 & 求总体矩、列方程组 & 写似然、取对数、求极值 \\ 前提关注 & 所用总体矩必须存在 & 参数空间、支持集和独立性 \\ 多参数处理 & 建立同样多个矩方程 & 建立同样多个似然偏导方程 \\ 常见陷阱 & 把分母 $n$ 写成 $n-1$ & 忽略边界、参数范围或分段取值 \\ 性质 & 一般无不变性 & 一一变换下有不变性 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \subsection*{三、方法选择与检查顺序} \begin{enumerate} \item \textbf{矩估计：}数参数、选矩、算总体矩、列等式、解参数、查参数范围。 \item \textbf{最大似然：}定数据与参数角色、写支持条件、构造似然、取对数、求极值、筛参数空间、换回大写样本。 \item \textbf{无偏性：}直接计算 $E(\widehat\theta)$，与 $\theta$ 比较。 \item \textbf{有效性：}先验证所有候选量无偏，再比较方差。 \item \textbf{一致性：}写成依概率收敛目标，优先寻找样本均值或样本矩并调用大数定律。 \end{enumerate} \subsection*{四、重点辨析与易错点} \begin{itemize} \item 估计量是随机变量，估计值是一次观测得到的数，真实参数则固定但未知。 \item 似然 $L(\theta;x_1,ldots,x_n)$ 与联合密度形式相同，但用途不同：数据固定，参数变化。 \item 最大似然的驻点只是候选点；还要检查参数空间、二阶导数、端点和单调性。 \item 连续型样本的似然是密度乘积，不是若干单点概率的乘积。 \item 正态方差的矩估计和最大似然估计均除以 $n$；无偏样本方差除以 $n-1$。 \item 无偏不等于误差小，一致也不等于每个有限样本下都无偏。 \end{itemize} \subsection*{五、证明掌握清单} \begin{itemize} \item \textbf{A级，应能独立复现：}根据矩估计思想建立方程并求解；为离散型和连续型总体构造似然并处理驻点或单调边界；用期望证明无偏；在无偏前提下用方差比较有效性；用大数定律证明一致性。 \item \textbf{B级，应理解证明思路：}样本矩为何能逼近总体矩；最大似然为什么选择使已观察样本最可能出现的参数。 \item \textbf{C级，知道结论即可：}最大似然估计的一般相合性和渐近正态性；充分性、完备性与克拉默--拉奥下界的证明。这些内容\textbf{本阶段不要求复现}。 \end{itemize} \subsection*{六、自测题} \begin{exercise} 用自己的话区分参数 $\theta$、估计量 $\widehat\theta$ 和估计值，并说明为什么评价无偏性时研究的是估计量。 \end{exercise} \begin{exercise} 设总体 $X\sim P(\lambda)$，求 $\lambda$ 的矩估计量，并证明它无偏且一致。 \end{exercise} \begin{exercise} 设总体在区间 $(0,\theta)$ 上服从均匀分布。分别求 $\theta$ 的矩估计量和最大似然估计量，并说明最大似然为何来自样本最大值这一边界。 \end{exercise} \begin{exercise} 设 $X_1,\ldots,X_n$ 来自 $N(\mu,\sigma^2)$，$\mu,\sigma^2$ 均未知。写出二者的矩估计和最大似然估计，并判断 $\widehat{\sigma^2}$ 是否无偏。 \end{exercise} \begin{exercise} 若 $X_1,X_2$ 独立同分布，$E(X_i)=\mu$、$\operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2$，比较 \[ \widehat\mu_1=\frac{X_1+X_2}{2}, \qquad \widehat\mu_2=\frac{3X_1+X_2}{4} \] 的无偏性与有效性。 \end{exercise} \begin{exercise} 某似然函数在参数空间内没有驻点，但对参数严格递增。说明下一步应检查什么，为什么不能直接断言“最大似然估计不存在”。 \end{exercise} 完成自测后，应能概括本章的统一逻辑：\textbf{先用样本构造参数估计量，再分别从平均位置、波动大小和大样本极限评价它。} \end{document}