% !TEX root = ../概率论讲义.tex \documentclass[../概率论讲义.tex]{subfiles} \begin{document} % 主资料：参考资料/网课讲义/第九章 假设检验.pdf % 字幕范围：P68--P73 \setcounter{chapter}{8} \chapter{假设检验} \section*{本章导读} 参数估计回答“参数大概是多少”，假设检验回答“样本是否提供了足够证据，反对关于总体的某个说法”。其基本逻辑是反证式的：先暂时假定原假设成立，再判断当前样本对应的结果是否过于反常。 全章可归结为一条流程： \[ \boxed{\text{提出 }H_0,H_1} \longrightarrow \boxed{\text{选检验统计量}} \longrightarrow \boxed{\text{由 }H_1\text{ 定方向}} \longrightarrow \boxed{\text{由 }\alpha\text{ 定临界值}} \longrightarrow \boxed{\text{作结论}}. \] 第八章与本章使用相同的正态、$t$、卡方和 $F$ 枢轴量；区别只是前者解出参数区间，本章则判断观测统计量是否落入拒绝域。 \section{假设检验的基本思想} \subsection{原假设与备择假设} \begin{definition}[统计假设] 关于总体分布形式或未知参数的命题称为统计假设。检验时成对写为 \[ H_0:\text{原假设}, \qquad H_1:\text{备择假设}. \] $H_0$ 是暂时保留、等待样本检验的命题；$H_1$ 表示拒绝 $H_0$ 后所支持的方向。 \end{definition} 例如检验机器灌装均值是否仍为 $500$ 克，可写 \[ H_0:\mu=500, \qquad H_1:\mu\ne500. \] 若只担心灌装不足，则备择假设应改为 $H_1:\mu<500$。备择方向改变，拒绝域方向也随之改变。 \subsection{小概率事件原理} 假定 $H_0$ 成立后，选择一个分布已知的检验统计量。若观测值落入在 $H_0$ 下概率很小的区域，就认为“$H_0$ 成立却出现如此极端数据”不够可信，从而拒绝 $H_0$。 \begin{note}[小概率不等于不可能] 小概率事件在一次试验中仍可能发生。因此假设检验不能给出绝对正确的逻辑证明，而是在预先控制错误风险的前提下作统计决策。拒绝 $H_0$ 可能犯错；未拒绝 $H_0$ 也不表示 $H_0$ 已被证明为真。 \end{note} \begin{definition}[拒绝域与接受域] 在 $H_0$ 成立时，检验统计量取值中会导致拒绝 $H_0$ 的区域称为\textbf{拒绝域}；其余区域常称为接受域或非拒绝域。分隔二者的点称为临界值。 \end{definition} 更准确的结论措辞是： \begin{itemize} \item 统计量落入拒绝域：在显著性水平 $\alpha$ 下\textbf{拒绝 $H_0$}； \item 统计量未落入拒绝域：在显著性水平 $\alpha$ 下\textbf{没有充分理由拒绝 $H_0$}。 \end{itemize} \subsection{两类错误与显著性水平} \begin{center} \begin{tabular}{lll} \toprule 实际情况 & 检验决定 & 结果 \\ \midrule $H_0$ 为真 & 不拒绝 $H_0$ & 正确 \\ $H_0$ 为真 & 拒绝 $H_0$ & 第一类错误 \\ $H_0$ 为假 & 拒绝 $H_0$ & 正确 \\ $H_0$ 为假 & 不拒绝 $H_0$ & 第二类错误 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \begin{definition}[两类错误] 第一类错误是“弃真”，其概率记为 \[ \alpha=P(\text{拒绝 }H_0\mid H_0\text{ 为真}). \] 第二类错误是“取伪”，其概率通常记为 \[ \beta=P(\text{不拒绝 }H_0\mid H_0\text{ 为假}). \] \end{definition} 给定的 $\alpha$ 称为\textbf{显著性水平}。本课程的显著性检验优先控制第一类错误概率不超过 $\alpha$。样本量固定时，不能通过简单移动临界值让 $\alpha$ 与所有备择参数下的 $\beta$ 同时任意小；增大样本量通常能改善两类风险。 \subsection{标准检验步骤} \begin{enumerate} \item 写出 $H_0$ 与 $H_1$，明确是双侧、右侧还是左侧检验； \item 在 $H_0$ 成立条件下选择分布已知的检验统计量； \item 根据显著性水平 $\alpha$ 和备择方向写拒绝域； \item 代入样本观测值，得到统计量的观测值； \item 比较观测值与临界值，并用完整句子作统计结论。 \end{enumerate} \begin{note}[备择假设决定拒绝域方向] 若 $H_1:\theta\ne\theta_0$，偏大或偏小都反对 $H_0$，所以拒绝域在两侧，每侧概率为 $\alpha/2$；若 $H_1:\theta>\theta_0$，只有统计量过大才反对 $H_0$，拒绝域在右侧；若 $H_1:\theta<\theta_0$，拒绝域在左侧。方向来自备择假设，不来自样本观测值。 \end{note} \subsection*{小结} 假设检验先假定 $H_0$ 成立，再用小概率事件原理判断样本是否过于极端。$H_1$ 决定拒绝域方向，$\alpha$ 控制第一类错误并决定临界值；未落入拒绝域只能说证据不足，不能证明 $H_0$ 为真。 \section{双侧、单侧检验与 p 值} \subsection{三种拒绝域的统一形式} 设在 $H_0$ 下，检验统计量 $T$ 的分布关于 $0$ 对称，上 $\gamma$ 分位点记为 $t_\gamma$。则 \begin{center} \begin{tabular}{lll} \toprule 备择假设 & 检验类型 & 拒绝域 \\ \midrule $H_1:\theta\ne\theta_0$ & 双侧 & $|T|>t_{\alpha/2}$ \\ $H_1:\theta>\theta_0$ & 右侧 & $T>t_\alpha$ \\ $H_1:\theta<\theta_0$ & 左侧 & $T<-t_\alpha$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} 对卡方、$F$ 等不对称且只取正值的分布，左侧临界值应写成上 $1-\alpha$ 分位点。例如左侧 $F$ 检验拒绝域为 $F\mu_0$，采用右侧检验。即使样本均值恰好比 $\mu_0$ 小，也不能看完数据后改成左侧检验；这种事后改方向会破坏预先设定的第一类错误概率。 \end{example} \subsection{p 值} \begin{definition}[p 值] 在 $H_0$ 成立的前提下，得到“至少与当前观测结果同样极端”的统计量取值的概率，称为该检验的 p 值。等价地，p 值是刚好能够拒绝 $H_0$ 的最小显著性水平。 \end{definition} 决策规则为 \[ \boxed{p\le\alpha\Rightarrow\text{拒绝 }H_0}, \qquad \boxed{p>\alpha\Rightarrow\text{不拒绝 }H_0}. \] 对标准正态检验，若观测值为 $z_0$，则 \begin{align*} H_1:\mu\ne\mu_0&\quad\Rightarrow\quad p=2P(Z\ge|z_0|),\\ H_1:\mu>\mu_0&\quad\Rightarrow\quad p=P(Z\ge z_0),\\ H_1:\mu<\mu_0&\quad\Rightarrow\quad p=P(Z\le z_0). \end{align*} \begin{note} p 值不是“$H_0$ 为真的概率”，也不是“本次结论犯错的概率”。它是在 $H_0$ 已被假定成立时，当前数据及更极端数据出现的尾概率。p 值越小，数据与 $H_0$ 越不相容，但效应大小还应结合实际背景判断。 \end{note} \subsection{与置信区间的联系} 对使用同一枢轴量的双侧检验，显著性水平为 $\alpha$ 的检验与置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间具有对应关系： \[ \theta_0\notin(1-\alpha)\text{ 置信区间} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{拒绝 }H_0:\theta=\theta_0. \] 若 $\theta_0$ 落在区间内，则不能拒绝 $H_0$。这种等价关系主要针对双侧检验，且必须使用相同模型、枢轴量和显著性水平。 \subsection*{小结} 双侧检验把 $\alpha$ 平分到两端，右侧和左侧检验把全部 $\alpha$ 放在备择假设指向的一端。p 值用观测结果对应的尾概率度量反对 $H_0$ 的证据强弱；双侧检验还可用对应置信区间作等价判断。 \section{一个正态总体均值的检验} 设 $X_1,\ldots,X_n$ 来自 $N(\mu,\sigma^2)$，要检验 \[ H_0:\mu=\mu_0. \] \subsection{方差已知：Z 检验} 在 $H_0$ 下， \[ Z=\frac{\overline X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1). \] \begin{theorem}[正态均值的 Z 检验] 显著性水平为 $\alpha$ 时，拒绝域为 \[ \begin{array}{c|c} H_1&\text{拒绝域}\\ \hline \mu\ne\mu_0&|Z|>z_{\alpha/2}\\ \mu>\mu_0&Z>z_\alpha\\ \mu<\mu_0&Z<-z_\alpha \end{array}. \] \end{theorem} \begin{example}[完整的“统计量—临界值—结论”] 已知某正态总体标准差 $\sigma=6$，现取 $n=36$，得到 $\overline x=102.5$。在 $\alpha=0.05$ 下检验 \[ H_0:\mu=100, \qquad H_1:\mu>100. \] \tcblower 这是右侧 Z 检验，统计量观测值为 \[ z_0=\frac{102.5-100}{6/\sqrt{36}}=2.5. \] 右侧临界值 $z_{0.05}=1.645$。因为 $2.5>1.645$，观测值落入拒绝域，所以在 $0.05$ 显著性水平下拒绝 $H_0$，认为样本提供了总体均值大于 $100$ 的显著证据。 \textbf{结果检查：}备择为“大于”，拒绝域必须在右侧；结论不能写成“证明 $\mu>100$”。 \end{example} \subsection{方差未知：t 检验} 若 $\sigma^2$ 未知，在 $H_0$ 下使用 \[ T=\frac{\overline X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t(n-1). \] \begin{theorem}[正态均值的 t 检验] 显著性水平为 $\alpha$ 时，拒绝域为 \[ \begin{array}{c|c} H_1&\text{拒绝域}\\ \hline \mu\ne\mu_0&|T|>t_{\alpha/2}(n-1)\\ \mu>\mu_0&T>t_\alpha(n-1)\\ \mu<\mu_0&T<-t_\alpha(n-1) \end{array}. \] \end{theorem} \begin{note}[Z 与 t 怎样选] 选择标准只看总体方差是否已知，不看样本量“大不大”。本课程的精确结论建立在正态总体上：方差已知用 $\sigma$ 和 Z 检验；方差未知用 $S$ 和自由度为 $n-1$ 的 t 检验。 \end{note} \subsection*{小结} 一个正态总体均值检验以 $\overline X-\mu_0$ 为分子；方差已知标准化为 Z，方差未知学生化为 t。备择假设为不等、大于、小于时，分别使用双侧、右侧、左侧拒绝域。 \section{一个正态总体方差的检验} 要检验 \[ H_0:\sigma^2=\sigma_0^2. \] 当 $\mu$ 已知时，使用 \[ Q=\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n). \] 当 $\mu$ 未知时，使用 \[ Q=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1). \] 下表用 $k$ 表示相应自由度。 \begin{theorem}[正态方差的卡方检验] 显著性水平为 $\alpha$ 时，拒绝域为 \[ \begin{array}{c|c} H_1&\text{拒绝域}\\ \hline \sigma^2\ne\sigma_0^2 &Q<\chi^2_{1-\alpha/2}(k)\ \text{或}\ Q>\chi^2_{\alpha/2}(k)\\ \sigma^2>\sigma_0^2&Q>\chi^2_\alpha(k)\\ \sigma^2<\sigma_0^2&Q<\chi^2_{1-\alpha}(k) \end{array}. \] 其中 $\mu$ 已知时 $k=n$，$\mu$ 未知时 $k=n-1$。 \end{theorem} \begin{example}[不对称分布的双侧拒绝域] 正态总体均值未知，$n=20$，要在显著性水平 $0.05$ 下检验 $H_0:\sigma^2=9$ 对 $H_1:\sigma^2\ne9$。若样本方差为 $s^2$，统计量为 \[ q_0=\frac{19s^2}{9}. \] 拒绝域是 \[ q_0<\chi^2_{0.975}(19) \quad\text{或}\quad q_0>\chi^2_{0.025}(19). \] \textbf{易错提醒：}卡方分布不对称，不能写成 $|Q|>c$；左侧小临界值的上分位点下标是 $0.975$。 \end{example} \subsection*{小结} 正态方差检验使用卡方统计量。均值已知时自由度为 $n$，未知时为 $n-1$；双侧拒绝域位于两个不对称尾部，右侧和左侧检验分别使用上 $\alpha$ 与上 $1-\alpha$ 分位点。 \section{两个正态总体均值差的检验} 设两组独立样本分别来自 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$ 与 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$，检验 \[ H_0:\mu_1-\mu_2=\delta_0. \] \subsection{两个方差已知} 在 $H_0$ 下， \[ Z=\frac{(\overline X-\overline Y)-\delta_0} {\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}} \sim N(0,1). \] 双侧、右侧、左侧拒绝域分别为 \[ |Z|>z_{\alpha/2}, \qquad Z>z_\alpha, \qquad Z<-z_\alpha. \] \subsection{两个方差未知但相等} 若 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ 未知，定义 \[ S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}, \] 则在 $H_0$ 下 \[ T=\frac{(\overline X-\overline Y)-\delta_0} {S_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}} \sim t(n_1+n_2-2). \] 双侧、右侧、左侧拒绝域分别为 \[ |T|>t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2), \] \[ T>t_\alpha(n_1+n_2-2), \qquad T<-t_\alpha(n_1+n_2-2). \] \begin{example}[检验两个工艺的平均值是否不同] 两组独立正态样本方差未知但可认为相等，要检验 \[ H_0:\mu_1=\mu_2, \qquad H_1:\mu_1\ne\mu_2. \] 应取 $\delta_0=0$，先由两组样本方差计算 $S_w^2$，再计算 \[ t_0=\frac{\overline x-\overline y} {s_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}}. \] 若 $|t_0|>t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)$，则拒绝“两个均值相等”；否则只能说尚无充分证据认为两个均值不同。 \end{example} \subsection*{小结} 两个均值差检验与其置信区间使用同一枢轴量。两个方差已知用 Z；未知但相等用合并方差和自由度 $n_1+n_2-2$ 的 t。两组样本独立和等方差条件都不能漏掉。 \section{两个正态总体方差比的检验} 检验一般形式 \[ H_0:\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}=r_0, \qquad r_0>0. \] 在 $H_0$ 下， \[ F=\frac{S_1^2/S_2^2}{r_0} \sim F(n_1-1,n_2-1). \] \begin{theorem}[两个正态总体方差比的 F 检验] 显著性水平为 $\alpha$ 时，拒绝域为 \[ \begin{array}{c|c} H_1&\text{拒绝域}\\ \hline \sigma_1^2/\sigma_2^2\ne r_0 &FF_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)\\ \sigma_1^2/\sigma_2^2>r_0 &F>F_\alpha(n_1-1,n_2-1)\\ \sigma_1^2/\sigma_2^2c_{\alpha/2}$ & 小于上 $1-\alpha/2$ 或大于上 $\alpha/2$ 分位点 & 双侧 \\ $>$ & $T>c_\alpha$ & 大于上 $\alpha$ 分位点 & 右侧 \\ $<$ & $T<-c_\alpha$ & 小于上 $1-\alpha$ 分位点 & 左侧 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \subsection*{四、重点辨析与易错点} \begin{itemize} \item 备择假设决定拒绝域方向，不能看完样本后再改成更容易拒绝的方向。 \item 显著性水平是第一类错误概率的控制界，不是 $H_0$ 为假的概率。 \item p 值是在 $H_0$ 下的尾概率，不是结论出错概率；$p\le\alpha$ 才拒绝 $H_0$。 \item 未拒绝 $H_0$ 不等于接受或证明 $H_0$；结论必须保留“证据是否充分”的措辞。 \item 卡方与 $F$ 的双侧临界值不对称；使用上分位点时，下标顺序不能照搬对称分布。 \item Z、t、卡方、$F$ 的选择条件与上一章置信区间完全对应。 \end{itemize} \subsection*{五、证明掌握清单} \begin{itemize} \item \textbf{A级，应能独立完成：}根据 $H_0$ 选择检验统计量；根据 $H_1$ 推出双侧、左侧或右侧拒绝域；说明 $\alpha$ 如何决定临界值；完成“统计量—临界值—结论”的完整论证；解释为何不能由未拒绝证明 $H_0$；用反例否定全称命题。 \item \textbf{B级，应理解思路：}假设检验与置信区间使用相同枢轴量的联系；两类错误与显著性水平；单侧检验方向为何由备择假设决定。 \item \textbf{C级，知道结论即可：}各种拒绝域公式的重复代数推导；检验最优性、功效函数与 Neyman--Pearson 理论。这些内容\textbf{本阶段不要求复现}。 \end{itemize} \subsection*{六、自测题} \begin{exercise} 分别说明第一类错误和第二类错误，并解释为什么显著性水平 $\alpha$ 主要控制第一类错误。 \end{exercise} \begin{exercise} 正态总体方差已知，写出检验 $H_0:\mu=\mu_0$ 对三种备择 $\mu\ne\mu_0$、$\mu>\mu_0$、$\mu<\mu_0$ 的拒绝域。 \end{exercise} \begin{exercise} 某检验得到 p 值 $0.032$。分别在 $\alpha=0.05$ 和 $\alpha=0.01$ 下作结论，并说明 p 值不能解释为什么。 \end{exercise} \begin{exercise} 正态总体均值未知，说明检验 $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$ 时统计量、自由度和三类拒绝域。 \end{exercise} \begin{exercise} 两组独立正态样本方差未知但相等，写出检验 $H_0:\mu_1-\mu_2=0$ 的统计量，并说明双侧临界值与自由度。 \end{exercise} \begin{exercise} 构造一个反例，否定“任意两个不相关随机变量都相互独立”，并说明为什么若干正例不能证明该全称命题。 \end{exercise} 完成自测后，应能用一句话概括全章：\textbf{在预先控制第一类错误的前提下，判断样本是否与原假设过于不相容，并作出拒绝或不拒绝的证据结论。} \end{document}